[論文レビュー] Mathematical aspects of the Kubo formula for electrical conductivity with dissipation

Alexander Watson, Dionisios Margetis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2023

Quantum and electron transport phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、散乱をポアソン分布に従う事象としてモデル化することで、散乱を伴う量子系における電気伝導度のKubo公式の体系的で形式的な導出を提示する。一般化された伝導度の式を導出し、ドレーブや周期的タイトバインディングモデルといったよく知られた形に還元され、グラフェンや自由電子のような材料における電子輸送を分析する統一的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this expository article, we present a systematic formal derivation of the Kubo formula for the linear-response current due to a time-harmonic electric field applied to non-interacting, spinless charged particles in a finite volume in the quantum setting. We model dissipation in a transparent way by assuming a sequence of scattering events occurring at random-time intervals modeled by a Poisson distribution. By taking the large-volume limit, we derive special cases of the formula for free electrons, continuum and tight-binding periodic systems, and the nearest-neighbor tight-binding model of graphene. We present the analogous formalism with dissipation to derive the Drude conductivity of classical free particles.

研究の動機と目的

• 時間調波電場下における非相互作用でスピンのない量子粒子の線形応答電気伝導度に対するKubo公式の体系的で形式的な導出を提供すること。
• 散乱事象を平均散乱時間の逆数Γをパラメータとするポアソン過程としてモデル化することで、散乱を明確に取り入れること。
• Kubo公式の大体積極限を導出し、自由電子、連続的周期ポテンシャル、タイトバインディングモデル、およびグラフェンに対する特殊な場合を導出すること。
• 古典的ドレーブ伝導度が量子形式の極限として得られることを確立し、異なる領域間での一貫性を検証すること。
• 一様で一般化可能な公式を通じて、多様な電子輸送モデルを結びつける統一的な数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 散乱の間隔が指数分布に従うランダムな散乱事象の系列として散乱をモデル化し、平均散乱時間の逆数Γでパrameter化する。
• 一般化されたKubo公式を $\sigma_{lm}(\omega) = -\frac{e^2}{\hbar^2} \tilde{\operatorname{Tr}}\left\{ (\partial_l H)(\mathcal{L}_H - i\omega + \Gamma)^{-1} \partial_m \Phi(H) \right\} $ の形で導出する。ここで $\tilde{\operatorname{Tr}}$ は体積当たりのトレース密度を表す。
• 自由粒子、連続的周期ポテンシャル、タイトバインディング極限、および最近接原子間のグラフェンモデルに対して、具体的な結果を導出する。
• 時間順序付き期待値とポアソン分布に従う散乱時刻の確率的平均化を用いて、電流応答を計算する。
• 同じ枠組みから古典的極限を導出し、ドレーブ伝導度が得られることを示し、既知の結果と一貫していることを確認する。
• Liouvillian $\mathcal{L}_H = \frac{i}{\hbar}[H, \cdot]$ と運動量空間での微分 $\partial_l = -i[X_l, \cdot]$ を用いて、公式を運動量空間およびフーリエ空間で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン分布に従う散乱事象でモデル化された散乱を伴う状況において、電気伝導度のKubo公式を形式的にどのように導出できるか。
• RQ2 自由電子、周期的ポテンシャル、タイトバインディングモデルの各場合における一般Kubo公式の極限形は何か。
• RQ3 適切な極限において、量子Kubo公式はどのように古典的ドレーブモデルに還元されるか。
• RQ4 散乱時間の逆数Γは周波数依存伝導度にどのように寄与するか。
• RQ5 一般式は、ドレーブピークや周期的系における帯間寄与といった既知の結果を一貫して再現できるか。

主な発見

• 非相互作用でスピンのない粒子が時間調波場の下に置かれた状況において、散乱を伴うKubo公式 $\sigma_{lm}(\omega) = -\frac{e^2}{\hbar^2} \tilde{\operatorname{Tr}}\left\{ (\partial_l H)(\mathcal{L}_H - i\omega + \Gamma)^{-1} \partial_m \Phi(H) \right\} $ が体系的に導出された。
• 自由電子の場合、公式はドレーブ伝導度 $\sigma(\omega) = \frac{e^2 \tilde{N}}{m(-i\omega)} \left( \frac{1}{\Gamma} - \frac{1}{\Gamma - i\omega} \right) $ を与え、周波数が小さい極限で古典的結果と一致する。
• 周期的系のタイトバインディング極限では、バンド構造計算で用いられる標準的な形に還元され、帯間寄与を含む。
• 最近接原子間タイトバインディングモデルにおけるグラフェンでは、既知の伝導度挙動、特にクリーン極限における普遍的値が再現された。
• 大体積、弱い場、古典的極限の領域で、古典的ドレーブ伝導度が得られ、従来の物理法則と一貫性があることが確認された。
• ポアソン的散乱をΓを介して組み込むことで、応答関数の自然な減衰が得られ、周波数ゼロ極限における発散が解消されることが導出から示された。