[論文レビュー] Mathematical elasticity theory in a Riemannian manifold

Nastasia Grubic, Philippe G. LeFloch+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2013

Elasticity and Material Modeling被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、エネルギー最小化の原理を用いてリーマン多様体上の非線形および線形化された静的弾性を定式化する。変形は、ひずみエネルギーから負荷ポテンシャルを差し引いた全エネルギーを最小化することで定義される。小さな負荷に対して解の存在を証明し、計量に基づくひずみエネルギーと変分法を用いて、古典的弾性を曲がった幾何構造へ一般化する。

ABSTRACT

We study the equations of nonlinear and linearized static elasticity in a Riemannian manifold, which generalize those of classical elasticity in the three-dimensional Euclidean space. Our approach relies on the principle of least energy, stating that the deformation of the elastic body arising in response to given loads minimizes the total energy of the elastic body, defined as the difference between the strain energy and the potential of the loads, over a specific set of admissible deformations. Assuming that the strain energy is a function of the metric tensor field induced by the deformation, we first derive the principle of virtual work and the boundary value problem of nonlinear elasticity from the total energy of the elastic body, then we show that the latter equations possess a solution if the loads are sufficiently small in a specific sense.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間における古典的弾性を任意のリーマン多様体へ一般化すること。
• エネルギー最小化の原理に基づく静的弾性の変分的枠組みを確立すること。
• 全エネルギー汎関数の一次変分から仮想仕事の原理および境界値問題を導出すること。
• 曲がった幾何的設定における小さな負荷条件下で解の存在を証明すること。

提案手法

• 弾性体の全エネルギーをひずみエネルギーと負荷ポテンシャルの差として定式化する。
• ひずみエネルギーを変形によって誘導される計量テンソルの関数として定義する。
• 全エネルギー汎関数の第一変分から仮想仕事の原理を導出する。
• リーマン多様体上の変分法を用いて非線形弾性の境界値問題を確立する。
• 直接的変分法を用いて、負荷のコンパクト性および小ささの条件を導入し、解の存在を証明する。
• 陰関数定理または摂動論法を用いて、線形化弾性が非線形理論の極限として正当化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー最小化の原理をどのようにリーマン多様体上での弾性定式化に拡張できるか？
• RQ2 エネルギー最小化から導かれる曲がった幾何構造における非線形弾性の支配方程式は何か？
• RQ3 変形によって誘導される計量テンソルがリーマン的状況におけるひずみエネルギーにどのように影響を与えるか？
• RQ4 リーマン多様体上での弾性境界値問題に対して、どのような条件下で解が存在するか？
• RQ5 この幾何的枠組みにおいて、線形化弾性はどのように小さな変形の極限として現れるか？

主な発見

• 非線形弾性の仮想仕事の原理および境界値問題は、リーマン多様体上での全エネルギー汎関数から厳密に導出された。
• ひずみエネルギーは誘導された計量テンソルの関数として表現され、ユークリッド空間を超えた幾何的一般化が可能になった。
• 適用される負荷がノルムに依存する意味で十分に小さい場合、非線形弾性方程式の解が存在する。
• 幾何構造は計量テンソルを介して埋め込まれるため、この枠組みは古典的弾性を曲がった空間へ自然に拡張する。
• 小さな変形の下で線形化弾性は一次近似として回復され、変分的構造と整合的である。
• 存在証明は変分法とコンパクト性に依拠しており、小さな負荷仮定の下で数学的厳密性が保証される。