[論文レビュー] Mathematical formalism of physics of systems with motivation

Ihor Lubashevsky, Natalia Plawinska|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2009

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、統計的社會システム、特に動機づけられたエージェントを有するシステムをモデル化するための数学的形式主義を提案する。統計力学および分数階微積分の概念を拡張することで、拡張された位相空間、作用点、制限付き合理的行動、および分數微分方程式による記憶依存的ダイナミクスを用いた枠組みを導入し、意思決定とシステムの進化を記述する。本稿は、こうしたシステムに必要な主要なツールが、現代物理学および応用数学に既に存在することを示している。

ABSTRACT

The paper discusses fundamental problems in mathematical description of social systems based on physical concepts, with so-called statistical social systems being the main subject of consideration. Basic properties of human beings and human societies that distinguish social and natural systems from each other are listed to make it clear that individual mathematical formalism and physical notions should be developed to describe such objects rather then can be directly inherited from classical mechanics and statistical physics. As a particular example systems with motivation are considered. Their characteristic features are analyzed individually and the appropriate mathematical description is proposed. Finally the paper concludes that the basic elements necessary for describing statistical social systems or, more rigorously, systems with motivation are available or partly developed in modern physics and applied mathematics.

研究の動機と目的

• 古典的統計力学を超える新しい数学的形式主義を必要とする、社會システムと自然システムとの根本的な相違を特定すること。
• 個人の意思決定が主観的要因および社會的ダイナミクスに影響を受ける大規模な集団における、動機づけられた人間行動のモデル化の課題に対処すること。
• 制限付き合理的行動、記憶効果、意思決定プロセスを含むシステムを記述する枠組みを構築すること。
• 現代物理学および応用数学における既存の概念、特に分数階微積分が、動機づけられたエージェントを有するシステムに適応可能であることを示すこと。
• 歴史的記憶と動的意思決定軌道を組み込むことで、社會システムにおける集団的行動の予測の基盤を確立すること。

提案手法

• 動機づけられたエージェントをモデル化するため、目的変数（例：位置、速度）と主観的変数（例：好み、意図）を含む拡張された位相空間を導入する。
• エージェントが将来のシステムの軌道を評価し、それに応じて行動を調整する、重要な意思決定の瞬間である「作用点」の概念を適用する。
• 制限付き合理的行動を、すべての可能性を最適化するのではなく、将来の状態の可能性を評価する動的意思決定プロセスとしてモデル化する。
• 分数階微積分、特にカプート型分数階微分を用いて、ボルテラ積分方程式におけるべき則カーネルを介して人間行動の記憶効果を記述する。
• 記憶積分モデルから分数階微分方程式（式20）を導出し、現在の意思決定に時間加重された過去の影響を組み込む。
• システムのダイナミクスが開始する初期時刻 $ t_0 $ が存在すると仮定することで、非マルコフ的記憶を考慮しても、近似的な初期条件を定義可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして物理的および数学的構造を用いて、社會システムにおける動機づけられた個人の行動を形式的に記述できるか？
• RQ2 記憶を伴う社會システムにおける制限付き合理的行動および意思決定プロセスをモデル化するための数学的形式主義は何か？
• RQ3 記憶効果および歴史的依存性は社會システムのダイナミクスにどのように影響を及ぼし、数学的にどのように捉えることができるか？
• RQ4 統計力学および分数階微積分からの既存のツールが、動機づけられたエージェントを有するシステムにどの程度適応可能か？
• RQ5 長期間の記憶および非マルコフ的ダイナミクスを有するシステムにおいて、初期条件の概念は意味的に成立するか？

主な発見

• 局所的自己平均化の原理により、統計的社會システムに特徴的な要素を導入でき、集団的行動をモデル化するための統計的アンサンブルの使用が可能になる。
• ミタグ・レフラー関数および分数階微分方程式（式20）の使用により、時間相関のべき則減衰を伴う記憶依存的意思決定を数学的に整合した枠組みでモデル化できる。
• システムのダイナミクスは、現在の外部要因の影響と過去の状態の記憶を両方組み込む、$ heta $ 階のカプート微分を用いた分数階微分方程式によって近似可能である。
• 厳密なマルコフ的ダイナミクスがなくても、記憶がべき則カーネルでモデル化される限り、システムの開始時刻 $ t_0 $ において初期条件を意味的に定義可能である。
• 将来のダイナミクスの軌道を記述の基本的単位として埋め込むことで、主観的意思決定プロセスと客観的システム進化を効果的に統合する枠組みが構築された。
• 分析により、動機づけられたシステムを記述するために必要な、拡張された位相空間、記憶形式主義、制限付き合理的行動モデルといった、核心的な数学的および物理的ツールが、現代物理学および応用数学において既に存在するか、部分的に開発済みであることが確認された。