[論文レビュー] Mathematical model for fractal manifold

Fayçal Ben Adda|ArXiv.org|Nov 22, 2007

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、滑らかでない関数の二重平均関数近似を用いて、連続的でも離散的でもないが、すべてのスケールでハイブリッドな性質を示す幾何的空間であるフラクタル多様体のための新しい数学的枠組みを提示する。著者は、非微分可能関数の二重平均関数近似を用いて、解像度に応じて変化する次元を持つ空間を構築し、幾何学的性質が解像度とともに変化する。内部構造は変動的であるが、繰り返し平均化によって固定され、変動する幾何学的性質と非自明な位相的特徴を持つ新しい種類の多様体が得られる。

ABSTRACT

We have built a new kind of manifolds which leads to an alternative new geometrical space. The study of the nowhere differentiable functions via a family of mean functions leads to a new characterization of this category of functions. A fluctuant manifold has been built with an appearance of a new structure on it at every scale, and we embedded into it an internal structure to transform its fluctuant geometry to a new fixed geometry. This approach leads us to what we call fractal manifold. The elements of this kind of manifold appear locally as tiny double strings, with an appearance of new structure at every step of approximation. We have obtained a variable dimensional space which is locally neither a continuum nor a discrete, but a mixture of both. Space acquires a variable geometry, it becomes explicitly dependent on the approximation process, and the geometry on it assumed to be characterized not only by curvature, but also by the appearance of new structure at every step of approximation.

研究の動機と目的

• 量子力学および素粒子理論における微分不可能な時空の数学的モデルの欠如に対処すること。
• フラクタル次元を超えて、特に幾何学的および位相的文脈において、滑らかでない関数を特徴づける課題を解決すること。
• 解像度に依存する局所的幾何学を示す、新しい種類の多様体—フラクタル多様体—を構築すること。
• 変動する内部構造を幾何的空間に埋め込み、繰り返し平均化によって固定され、自己同様性を持つ幾何学に安定化させること。
• 連続的でも離散的でもない空間において、非線形解析の基盤を提供し、現代の宇宙論への応用を可能とすること。

提案手法

• 本稿は解像度パラメータ ε = 1/β を導入し、関数のスケール依存的近似を定義する。
• 滑らかでない関数を近似するための平均関数 f(x,ε) = (1/(2ε)) ∫_{x−ε}^{x+ε} f(t) dt を用い、ε > 0 のとき微分可能であることを保証する。
• これらの平均関数のグラフを用いて、新たな多様体のクラスである ε-多様体を定義し、ε でインデックス付けされた族を形成する。
• 幾何学を安定化させるために「平均の平均」のプロセスを繰り返し適用し、すべてのスケールで二重ストリング構造が現れる。
• 結果として得られるフラクタル多様体は、各々が ℝ³ に位相的に同相である局所的構造の合併集合として構成され、ε ∈ ℝ⁺ の範囲で定義される。
• 幾何学は曲率だけでなく、すべての解像度スケールで新しい構造の出現を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのスケールで連続的でも離散的でもないがハイブリッドな性質を持つ幾何的空間を構築できるか？
• RQ2 量子経路積分の中心的役割を果たす滑らかでない関数を、明確な構造を持つ幾何的多様体に埋め込む方法は何か？
• RQ3 解像度 ε が、近似に応じて変化する次元を持つ幾何学を定義する役割を果たす方法は何か？
• RQ4 多様体上での変動する内部構造を、繰り返し平均化によって固定され、安定した幾何学に変換する方法は何か？
• RQ5 すべての近似スケールで新しい構造が出現する多様体の位相的および幾何学的性質は何か？

主な発見

• フラクタル多様体は、解像度 ε でインデックス付けされた多様体 M_ε の合併集合として構築され、各 M_ε は ℝ³ に位相的に同型である。
• 「平均の平均」のプロセスにより、すべての近似スケールで二重ストリング構造が現れ、自己同様性が示唆される。
• フラクタル多様体の次元は 5 から無限大の間で変動し、非整数的かつ可変な次元性を示す。
• 多様体の幾何学は明示的に解像度 ε に依存しており、解像度に敏感で、古典的でない性質を示す。
• 古典的微分幾何学ではその二重性を捉えきれないため、非線形解析のフレームワークを支える。
• このモデルは、量子物理学における微分不可能な時空の候補を提供し、宇宙論への応用が期待される。