[論文レビュー] Mathematical modelling of fractional order circuits

Miguel Ángel Moreles, Rafael Lainez|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Advanced Control Systems Design参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、リーマン・リウビル分数階微分を用いてマクスウェル方程式および物性法則を一般化することで、分数階RCL回路モデルを導出する。その後、標準的な初期条件を可能にするために、得られた系をカプート型微分を用いて再定式化する。主な貢献は、実験的バイオインピーダンスデータと整合的であり、電磁気学の第一原理から導かれた物理的に根拠のある分数階積分微分方程式による、分数階RCL回路内の電荷の記述である。

ABSTRACT

In this work a classical derivation of fractional order circuits models is presented. Generalized constitutive equations in terms of fractional Riemann-Liouville derivatives are introduced in the Maxwell's equations. Next the Kirchhoff voltage law is applied in a RCL circuit configuration. A fractional differential equation model is obtained with Caputo derivatives. Thus standard initial conditions apply.

研究の動機と目的

• 電磁気学の第一原理に基づき、経験的フィッティングにとどまらない、古典的で第一原理的な分数階回路モデルの導出を目的とする。
• コールモデルのような分数階モデルはデータにうまく合うが、物理的メカニズムに欠けるという問題に取り組む。
• 分数階回路における分数階挙動が、分数階微分を含む一般化された物性方程式から自然に生じることを示す。
• リーマン・リウビル微分における非標準的初期条件の問題を、カプート形式へのモデル再定式化によって解決する。
• 既知の物理法則と整合的であり、物理的に意味のある初期条件を許容する分数階RCL回路方程式を導出する。

提案手法

• 電磁気学における物性法則をリーマン・リウビル分数階微分を用いて一般化し、キュリーの法則と整合する分数階オームの法則を含む。
• 時間に関する分数階微分を含む一般化された物性方程式を用いて、抵抗素子、コンデンサ、インダクタの分数階回路素子を定義する。
• トロイダルインダクタにマクスウェル方程式とアンペールの法則を適用し、カプートに類似した微分を含む分数階電圧-電流関係を導出する。
• 分数階素子を有する直列RCL回路にキルヒホッフの電圧則を適用し、電荷Q(t)に関する分数階積分微分方程式を導出する。
• リーマン・リウビルに基づくモデルをカプートに基づくモデルに再定式化し、標準的な初期条件が適用可能であることを保証する。
• 最終方程式に階数$1 - \beta$のカプート微分を適用することで、応用分野で一般的に用いられる形に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された物性法則を用いて、古典的電磁気理論から分数階回路モデルを導出することは可能か？
• RQ2 リーマン・リウビル微分における分数階微分を、標準的な初期条件を許容するカプート微分にどのように変換できるか？
• RQ3 特にキュリーの法則および損失を伴う誘電体に関連して、RCL回路における分数階挙動の物理的根拠は何か？
• RQ4 抵抗素子、コンデンサ、インダクタの分数階支配方程式は、極限においてどのように古典的モデルに還元されるか？
• RQ5 一般化された物性法則を適用した場合、直列RCL回路の結果として得られる分数階微分方程式は何か？

主な発見

• 分数階RCL回路は、$1 + \gamma$階のカプート型分数階積分微分方程式に従い、$Q(0)$および$D_t Q(0)$が自然な初期条件として現れる。
• 分数階抵抗素子は$i(t) = \frac{1}{R_\alpha} D_t^{1-\alpha} v(t)$で記述され、古典的極限ではオームの法則に還元される。
• 分数階コンデンサは$Q(t) = C_\beta D_t^{1-\beta} v(t)$で記述され、$\beta \to 1$の極限で古典的$Q = Cv$に一致する。
• 分数階インダクタは$v(t) = L_\gamma D_t^\gamma i(t)$に従い、$\gamma \to 1$の極限で古典的$v = L \frac{di}{dt}$に還元される。
• 最終的なカプート形式のモデルは$L_\gamma \hat{D}_t^\gamma D_t Q(t) + R_\alpha \hat{D}_t^\alpha Q(t) + \frac{1}{C_\beta} J_t^{1-\beta} Q(t) = e(t)$であり、物理的に意味のある初期条件を許容する。
• 階数$1 - \beta$のカプート微分を適用すると、$L_\gamma \hat{D}_t^{1-\beta} D_t \hat{D}_t^\gamma Q(t) + R_\alpha \hat{D}_t^{1-\beta} \hat{D}_t^\alpha Q(t) + \frac{1}{C_\beta} Q(t) = \hat{D}_t^{1-\beta} e(t)$が得られ、応用分野の分数階ダイナミクスで一般的に用いられる形に一致する。