[論文レビュー] Mathematical pendulum and its variants

Chiş Oana, Dumitru Opriş|ArXiv.org|May 27, 2009

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、保存則と等高面制約を通じて、R³におけるオイラー・トップ系と数学的 pendulum 動力学の間の数学的枠組みを確立する。この関係は、遅れ付き、分数階、確率的変種の両系統へと拡張され、不変面上でpendulumに類似した挙動が出現することを示し、楕円関数による解析的解と、高度な積分スキームによる数値的検証が行われる。

ABSTRACT

In this paper we show that there are applications that transform the movement of a pendulum into movements in $\mathbb{R}^3$. This can be done using Euler top system of differential equations. On the constant level surfaces, Euler top system reduces to the equation of a pendulum. Those properties are also considered in the case of system of differential equations with delay argument and in the fractional case. Another aspect presented here is stochastic Euler top system of differential equations and stochastic pendulum.

研究の動機と目的

• ハミルトン＝ポisson実現と保存則を用いて、R³におけるオイラー・トップ系と数学的pendulumの間の数学的対応関係を確立すること。
• この対応関係を時間遅れ、分数階微分、確率的摂動を含む系へと拡張すること。
• 等エネルギー定数（H = K）と非等エネルギー定数（H ≠ K）の下で、pendulumおよびオイラー・トップ系の解析的解を導出すること。この解は楕円関数および双曲線関数を含む。
• 分数階および確率的系をシミュレートするための数値的手法（アダムス＝ムルトン法およびミルスタイン法）の開発と検証を行うこと。
• 伊藤およびストラトニヴィッチの微積分を用いて、オイラー・トップおよびpendulum系の確率的力学を分析し、確率密度の時間発展を記述するFokker-Planck方程式を導出すること。

提案手法

• R³におけるオイラー・トップ系の常微分方程式系を用いる：dx₁/dt = x₂x₃, dx₂/dt = -x₁x₃, dx₃/dt = x₁x₂。右辺は多項式である。
• ハミルトン＝ポアソン実現を適用し、3つの保存則（H₁, H₂, H₃）と3つのカシミール関数（C₁, C₂, C₃）を特定し、不変面を定義する。
• これらの保存則の定数等高面へのオイラー・トップ系の制限により、標準的、遅れ付き、分数階、確率的変種を含むpendulum力学が回復されることを示す。
• OZ軸およびOX軸に沿った遅れ付きオイラー・トップ系を導入し、保存則を保持するとともに、遅れ付きpendulum方程式が得られることを示す。
• Caputoの分数階微分をオイラー・トップ系に適用し、保存則を保持するとともに、等高面上での制限により分数階pendulum方程式が得られることを示す。
• 乗法的ノイズ √xᵢ dWᵢ を持つ伊藤およびストラトニヴィッチの確率微分方程式（SDE）を用いて、確率的オイラー・トップおよびpendulum系をモデル化し、確率密度の時間発展を記述するFokker-Planck方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー・トップ系が保存則の定数等高面に制限されると、数学的pendulum方程式がどのように得られるか？
• RQ2 エネルギー定数が等しい（H = K）場合と等しくない（H ≠ K）場合の、オイラー・トップおよびpendulum系の解析的解は何か？
• RQ3 オイラー・トップ系における時間遅れが、pendulumに類似した力学的挙動および保存則に与える影響は何か？
• RQ4 分数階オイラー・トップ系は、保存則を保持し、不変面上で分数階pendulum方程式に還元可能か？
• RQ5 伊藤およびストラトニヴィッチ積分を用いた確率的摂動が、オイラー・トップおよびpendulum系の力学に与える影響は何か？対応するFokker-Planck方程式は何か？

主な発見

• H = K の場合、双曲線関数を用いた正確な解析的解が得られる：x₁(t) = ±H√2 sech(H√2 t), x₂(t) = ±H√2 tanh(H√2 t), x₃(t) = ±H√2 sech(H√2 t)。これは異宿軌道を表す。
• H ≠ K の場合、解はヤコビの楕円関数で表される：x₂(t) = H√2 sn(H√2 t; √H/√K), x₁(t) = H√2 cn(H√2 t; √H/√K), x₃(t) = K√2 sn(H√2 t; √H/√K)。周期は異なる。
• 遅れ付きオイラー・トップ系は保存則を保持し、等高面への制限により遅れ付き数学的pendulum方程式が得られ、同じ力学的構造が保たれる。
• Caputo微分を用いた分数階オイラー・トップ系は保存則を保持し、等高面への制限により分数階pendulum方程式が得られる。
• 確率的オイラー・トップおよびpendulum系は、乗法的ノイズ √xᵢ dWᵢ を持つ伊藤およびストラトニヴィッチのSDEで定式化され、確率密度の時間発展を記述するFokker-Planck方程式が導出される。
• ミルスタイン法（SDE用）およびアダムス＝ムルトン法（分数階系用）を用いた数値シミュレーションにより、理論的挙動が確認され、すべてのケースで安定な収束が観察された。