[論文レビュー] Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey on the Schwinger Model

Andreas U. Schmidt|ArXiv.org|Jul 18, 1997

Laser-Plasma Interactions and Diagnostics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、シュヴィンガー模型を扱いやすい例として用い、不定計量空間における量子化の課題に焦点を当てたゲージ量子場理論の数学的サーベイを提供する。非正定内積空間のポンツリャーギン空間構造が確立され、先行研究を一般化し、モデルにおける状態空間およびワイズマン関数の不定性を明確にする。

ABSTRACT

This extended write-up of a talk gives an introductory survey of mathematical problems of the quantization of gauge systems. Using the Schwinger model as an exactly tractable but nontrivial example which exhibits general features of gauge quantum field theory, I cover the following subjects: The axiomatics of quantum field theory, formulation of quantum field theory in terms of Wightman functions, reconstruction of the state space, the local formulation of gauge theories, indefiniteness of the Wightman functions in general and in the special case of the Schwinger model, the state space of the Schwinger model, special features of the model. New results are contained in the Mathematical Appendix, where I consider in an abstract setting the Pontrjagin space structure of a special class of indefinite inner product spaces - the so called quasi-positive ones. This is motivated by the indefinite inner product space structure appearing in the above context and generalizes results of Morchio and Strocchi [J. Math. Phys. 31 (1990) 1467], and Dubin and Tarski [J. Math. Phys. 7 (1966) 574].

研究の動機と目的

• ゲージ理論の量子化における基礎的数学的課題、特に不定計量空間の問題に取り組む。
• 非自明ではあるが正確に解ける例としてシュヴィンガー模型を用い、ゲージ量子場理論の一般的特徴を説明する。
• ゲージ理論における状態空間の構造とワイズマン関数の不定性を明確にする。
• 抽象的な設定において、非正定内積空間に関する既存の結果を一般化するために「準正定」空間を導入・分析する。
• シュヴィンガー模型における物理的状態空間を理解するための厳密な数学的枠組みを提供する。

提案手法

• ワイズマン公理を用いて量子場理論を定式化し、ワイズマン関数から状態空間を再構成する。
• ゲージ理論の局所的定式化と、ヒルベルト空間におけるそれらが生じさせる不定計量構造を分析する。
• シュヴィンガー模型に現れる不定内積構造を特徴付けるために、ポンツリャーギン空間の概念を適用する。
• 以前の構成を一般化するための「準正定」不定内積空間を導入し、それらを研究する。
• 抽象的関数解析的手法を用いて状態空間構造を導出し、モルチオとストロッチおよびデュビンとタルスキの結果を拡張する。
• 形式的な提示と付録における数学的結果の導出に、AMSTeXとPICTeXマクロを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ対称性の下で、シュヴィンガー模型の状態空間はワイズマン関数からどのように導かれるか？
• RQ2 シュヴィンガー模型の量子化において生じる不定内積空間の数学的構造は何か？
• RQ3 「準正定」内積空間の概念は、量子場理論における既知の不定計量空間の結果をどのように一般化できるか？
• RQ4 ワイズマン関数の不定性がゲージ理論における物理的状態空間に与える影響は何か？
• RQ5 シュヴィンガー模型は単純であるが、ゲージ量子場理論の一般的特徴をどのように具体化しているか？

主な発見

• シュヴィンガー模型の状態空間は、ゲージ固定に起因する不定計量構造を反映してポンツリャーギン空間として構成される。
• シュヴィンガー模型におけるワイズマン関数は一般に不定である。これはゲージ対称性と関連する非物理的状態に起因する。
• 数学的付録では、準正定内積空間が、以前の結果を一般化する自然な不定内積空間のクラスを形成することを確立する。
• この論文は、モルチオとストロッチおよびデュビンとタルスキの研究を拡張し、量子場理論における不定計量空間のより広範な枠組みを提供する。
• 不定計量が存在するにもかかわらず、シュヴィンガー模型は明確に定義された物理的状態空間を示し、公理的アプローチの整合性を確認する。
• 解析により、シュヴィンガー模型における物理的状態は、不定内積構造によって非物理的状態から分離可能であることが確認された。