[論文レビュー] Mathematical remarks on the cohomology of gauge groups and anomalies

Alan L. Carey, Michael K. Murray|ArXiv.org|Aug 26, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ゲージ理論における異常を2つのアプローチ—ゲージ群のリーヒューリー代数のコホモロジーと、ゲージ変換による商をとった接続の空間の位相的コホモロジー—を、透過写像を通じて統一する。ゲージ理論のコホモロジーにおける非幾何的3次コホモロジー類を特定し、それらが幾何的異常と深い関係を持つ可能性を示唆する予想を提示する一方で、Gerbesを用いて電流の交換関係とFaddeev-Mickelsson異常を幾何的に解釈する。

ABSTRACT

Anomalies can be viewed as arising from the cohomology of the Lie algebra of the group of gauge transformations and also from the topological cohomology of the group of connections modulo gauge transformations. We show how these two approaches are unified by the transgression map. We discuss the geometry behind the current commutator anomaly and the Faddeev- Mickelsson anomaly using the recent notion of a gerbe. Some anomalies (notably 3-cocycles) do not have such a geometric origin. We discuss one example and a conjecture on how these may be related to geometric anomalies.

研究の動機と目的

• ゲージ変換のリーヒューリー代数のコホモロジーと、ゲージ変換による商をとった接続の空間の位相的コホモロジーという、2つの数学的定式化を統一すること。
• Gerbesの現代的枠組みを用いて、電流の交換関係やFaddeev-Mickelsson異常といった異常のもつ幾何的起源を明確にすること。
• 特に3次コホモロジー類として特定される、幾何的構造に由来しない異常を同定・分析し、それらが幾何的異常とどのように関係するかを検討すること。
• ゲージ理論コホモロジーにおける透過写像を通じて、代数的トポロジーと量子場理論の間の概念的・技術的橋渡しを確立すること。

提案手法

• ゲージ群のリーヒューリー代数のコホモロジーと、ゲージ変換による商をとった接続の空間の位相的コホモロジーを結ぶために、透過写像を用いる。
• Gerbes理論を応用し、電流の交換関係異常およびFaddeev-Mickelsson異常を幾何的構造を持つ異常としてモデル化・解釈する。
• 微分幾何学および代数的トポロジーの道具を用いて、ゲージ群および接続の空間のコホモロジーを分析する。
• リーヒューリー代数コホモロジーにおける3次コホモロジー類を、Gerbesに基づく幾何的起源とは異なる非幾何的異常候補として分析する。
• 特性類および曲率形式の形式的枠組みを用いて、異常をゲージ理論における位相的不変量と結びつける。
• 関連するコホモロジースペースおよび写像を定義するために、主 bundle および接続の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーヒューリー代数コホモロジーと、ゲージ変換による商をとった接続空間の位相的コホモロジーという2つの異なるコホモロジー定式化を、どのように統一できるか？
• RQ2 Gerbesの観点から、電流の交換関係異常およびFaddeev-Mickelsson異常の幾何的意味は何か？
• RQ3 ゲージ理論コホモロジーにおける特定の3次コホモロジー類が、なぜ幾何的起源を持たないのか、そしてそれらが幾何的異常とどのように関係する可能性があるのか？
• RQ4 透過写像は、代数的異常コホモロジーと位相的異常コホモロジーの間で、どのような方法で統一的メカニズムを果たすのか？

主な発見

• 透過写像は、ゲージ群のリーヒューリー代数コホモロジーと、ゲージ変換による商をとった接続の空間の位相的コホモロジーとの間の明確な数学的リンクを提供する。
• 電流の交換関係異常およびFaddeev-Mickelsson異常は、Gerbesの枠組みを通じて幾何的起源を持つことが示され、より深い位相的解釈が可能になる。
• 特定の異常、特に3次コホモロジー類に対応するものについては、非幾何的であることが同定され、曲率やバンドル理論的構造に由来しないことが示唆される。
• 非幾何的3次コホモロジー類が、隠れた位相的またはコホモロジー的メカニズムを通じて幾何的異常と関係している可能性を示唆する予想が提示される。
• ゲージ異常におけるコホモロジー構造は、従来の認識をはるかに超えて豊かであり、幾何的および非幾何的成分を併せ持つことが確認された。