[論文レビュー] Mathematical remarks on transcritical bifurcation in Hamiltonian systems

Klaus Jaenich|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン系における超臨界分岐を解析するための数学的枠組みを提示する。主にシンプレクティック写像におけるランク1分岐に注目し、適応座標を導入し、ポアンカレ写像の $P$-成分のヘッセ行列を用いて、正規、定値、超臨界交叉分岐を定義する。また、ポアンカレ写像のヤコビアンと摂動項の非退化性条件により、一般摂動下でこのような分岐が破壊されることを証明する。

ABSTRACT

This article is meant as a mathematical appendix or comment on [BT]. We first consider the notion of transcritical bifurcations of fixed points of general area-preserving maps, and then adress some questions related to [BT] on bifurcation in Poincaré maps of 2-dimensional Hamiltonian systems. [BT] M. Brack and K. Tanaka, arXiv:0705.0753

研究の動機と目的

• 2次元ハミルトニアン系のシンプレクティック写像における超臨界分岐の概念を形式化すること、特にポアンカレ再帰写像の文脈で。
• ヘッセ行列分析を用いて、正規、定値、超臨界のタイプを区別する、シンプレクティック族におけるランク1分岐の定義と分類。
• 一般条件下での構造的不安定性を保証する、超臨界分岐の破壊に関する基準を確立すること。
• 分岐が存続するか破壊されるかを決定するための、計算可能な条件を、ポアンカレ写像の線形化ダイナミクスと摂動項に基づいて提示すること。

提案手法

• 分岐点におけるシンプレクティック写像のヤコビアンが $Q_q - 1 = 0$、$Q_p \neq 0$、$Q_\nu = 0$ を満たすように、適応座標を導入する。
• 原点における $(q, \nu)$ に関する $P$ のヘッセ行列が非退化であることを要求することで、正規ランク1分岐を定義する。
• 不定な正規ランク1分岐として交叉分岐の概念を導入し、$P_{qq} \neq 0$ である場合を超臨界分岐と定義する。
• 固定点集合 $F$ を、表面 $X = \{Q = q\}$ 上での $P - p$ の零点集合として定義し、この制限のヘッセ行列を用いて局所的構造を分析する。
• ラグランジュ乗数を用いて、固定点集合上での $\nu$-座標関数のヘッセ行列を計算し、分岐点における特異点が孤立していることを証明する。
• ポアンカレ写像の線形化と摂動項を用いて分岐破壊の基準を導出し、非摂動軌道に沿った摂動の積分から得られるベクトルの非消滅性条件に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン系における超臨界分岐は、小さな摂動の下でどのような条件下で存続するか？
• RQ2 シンプレクティック写像におけるランク1分岐点の近傍で、固定点集合の局所的構造はどのように特徴付けられるか？
• RQ3 ポアンカレ写像の $P$-成分のヘッセ行列は、分岐のタイプ（定値、不定、超臨界）を分類するために果たす役割は何か？
• RQ4 一般摂動によって超臨界分岐は破壊可能か？ もしそうならば、その破壊の明確な数学的条件は何か？
• RQ5 ポアンカレ写像のヤコビアンと摂動項を用いて、数値的応用において分岐破壊をアルゴリズム的にテストする方法は何か？

主な発見

• シンプレクティック族における超臨界分岐は、一般摂動の下で構造的に不安定であり、系がわずかに変化すると通常は存続しない。
• 超臨界分岐点の近傍における固定点集合 $F$ は局所的に滑らかな1次元部分多様体であるが、$F$ 上での $\nu$-座標関数は分岐点で孤立特異点を持つ。
• 固定点集合上に制限された $\nu$-座標関数のヘッセ行列は非退化であり、特異点が孤立していることを示唆し、したがって分岐は連続的な分岐族の一部ではない。
• 超臨界分岐の破壊の必要十分条件は、非摂動軌道に沿った積分から得られるベクトル $(c_1(T), c_2(T))$ が行列 $\left(\begin{array}{cc} \varphi(T)-1 & \psi(T) \\ \dot\varphi(T) & \dot\psi(T)-1 \end{array}\right)$ の核に属さないことである。ここで $\varphi, \psi$ は線形化変分方程式の解である。
• 特定の摂動 $F(x,y,p_x,p_y) = x p_y - y p_x$ の場合、破壊基準は周期 $T$ にわたる $y(t) \dot\psi(t)$ と $y(t) \dot\varphi(t)$ の積分からなるベクトルの非消滅性条件に簡略化される。
• 分岐点におけるポアンカレ写像のヤコビアンは、線形化系の基本解行列として与えられ、標準的な常微分方程式理論により破壊条件を明示的に計算可能である。