[論文レビュー] Mathematics and group theory in music

Athanase Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2014

Musicology and Musical Analysis参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、20世紀音楽におけるオリヴィエ・メンサインの作曲的・理論的革新が群論によって裏付けられていることを示している。特に、限られた転置をもつモードと非逆転リズムの観点から、対称性、順列、転置制約を分析することで、数学的構造が独自の和声的色彩と調性の曖昧さを生み出す仕組みを明らかにしている。これにより、数学的不可能性と音色連想の美的認識に根ざしたメンサイン独自の音楽的言語に、形式的な基盤が与えられる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show through particular examples how group theory is used in music. The examples are chosen from the theoretical work and from the compositions of Olivier Messiaen (1908-1992), one of the most influential twentieth century composers and pedagogues. Messiaen consciously used mathematical concepts derived from symmetry and groups, in his teaching and in his compositions. Before dwelling on this, I will give a quick overview of the relation between mathematics and music. This will put the discussion on symmetry and group theory in music in a broader context and it will provide the reader of this handbook some background and some motivation for the subject. The relation between mathematics and music, during more than two millennia, was lively, widespread, and extremely enriching for both domains. This paper will appear in the Handbook of Group actions, vol. II (ed. L. Ji, A. Papadopoulos and S.-T. Yau), Higher Eucation Press and International Press.

研究の動機と目的

• 群論がメンサインの作曲的技法と理論的枠組みをどのように規定しているかを示すこと。
• 限られた転置をもつメンサインのモードの背後にある数学的基盤を説明し、調性の曖昧さを生じさせることの役割を明らかにすること。
• ピタゴラス比や対称性といった歴史的数学的概念を、現代の群論的形式主義と結びつけること。
• 数学的制約が音楽において色彩、不思議さ、和声の曖昧さといった知覚的効果を生み出す仕組みを調査すること。
• 対称性と変換の役割を強調し、数学と音楽の伝統的関係の中でメンサインの作品を位置づけること。

提案手法

• 巡回群や対称操作といった群論的概念を用いて、メンサインの限られた転置をもつモードを分析すること。
• 順列群を用いて、リズムパターンが逆転に対しても不変である非逆転リズムをモデル化すること。
• 転置閉包の概念を用いて、有限個の異なる形にしか転置できないモード（例：最大6回の転置）を定義すること。
• ピタゴラスが確立した数値比に基づいて音程を数値化し、和声的構造を算術的・対称的基盤に据えること。
• 繰り返しの転置によって不変な調性分布が生じるため、和声的色彩に与える対称性の役割を検討すること。
• アンドレッタやジェドルゼフシキーらの歴史的・現代的研究を援用し、メンサインの業績を現代音楽理論における群論的理論的文脈に位置づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論は、メンサインの限られた転置をもつモードの構造をどのように形式化するか？
• RQ2 非逆転リズムは、音楽的創作における群論的対称性をどのように具体化しているか？
• RQ3 転置に課された数学的制約は、メンサイン音楽における調性の曖昧さと和声的色彩の知覚にどのように寄与するか？
• RQ4 対称性と順列は、メンサインの和声的言語が特有のトーン・カラーと空間的質感を獲得する上で果たす役割は何か？
• RQ5 歴史的数学的伝統（例：ピタゴラス比、ユークリッドのカンオン分割）は、メンサインの作品における群論的構造にどのように影響を与えているか？

主な発見

• メンサインの限られた転置をもつモードは数学的制約を受けており、それぞれが有限回（最大6回）の転置しか行えないため、閉じた対称的構造を持つ。
• これらのモードはスケールではなく和声的色彩である。ドミナントや最終音がないため、調性の曖昧さが生じ、空気的で印象派的雰囲気を醸し出す。
• 非逆転リズムは逆転に対して不変であるが、これは特に巡回群の文脈で群論的対称性によって形式化されている。
• あるモードを少数のステップを超えて転置できないという数学的不可能性は、メンサインにとって、豊満な魅力と和声的色彩の源と感じられていた。
• メンサインは音程やコードを色として認識しており、これはバルデラールからシュリャビンに至るまでの音色連想の歴史的・芸術的伝統と一致する。
• 本稿は、群論と音楽的知覚の間に形式的な関係を確立し、メンサインの作品において数学的対称性が構造的整合性と美的効果の両方を支えていることを示している。