[論文レビュー] Mathematics of domains

Harry G. Mairson, Michael A. Bukatin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2002

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、意味論的意味論のドメイン理論における基礎的問題を、新しい論理的および距離的枠組みを導入することで調査する。ドメインの部分ドメインがドメインを形成すること、有限的再統合写像を同定し、非反射的論理による情報系の一般化を行い、ココンtinuousな評価を導入してスコット連続な緩和された距離関数を構築することで、ドメイン理論における距離関数に関する長年の問題を解決する。

ABSTRACT

Two groups of naturally arising questions in the mathematical theory of domains for denotational semantics are addressed. Domains are equipped with Scott topology and represent data types. Scott continuous functions represent computable functions and form the most popular continuous model of computations. Covariant logic of domains. Domains are represented as sets of theories, and Scott continuous functions are represented as input-output inference engines. The questions addressed are: (A) What constitutes a subdomain? Do subdomains of a given domain A form a domain? (B) Which retractions are finitary? (C) What is the essence of generalizations of information systems based on non-reflexive logics? Are these generalizations restricted to continuous domains? Analysis on domains. (D) How to describe Scott topologies via generalized distance functions satisfying the requirement of Scott continuity (“abstract computability”)? The answer is that the axiom ρ(x, x) = 0 is incompatible with Scott continuity of distance functions. The resulting relaxed metrics are studied. (E) Is it possible to obtain Scott continuous relaxed metrics via measures of domain subsets representing positive and negative information about domain elements? The positive answer is obtained via the discovery of the novel class of co-continuous valuations on the systems of Scott open sets. Some of these natural questions were studied earlier. However, in each case a novel approach is presented, and the answers are supplied with much more compelling and clear justifications, than were known before.

研究の動機と目的

• ドメイン内の部分ドメインの圏論的構造を明確にし、それ自身がドメインを形成するかどうかを特定すること。
• ドメイン理論における再統合写像のうち、有限的であるものはどれかを特徴づけ、ドメイン構築の基礎的問題に答えること。
• 反射的論理を超えた情報系の一般化を調査し、連続ドメインへの適用可能性を評価すること。
• スコット連続性を満たす緩和された距離関数による抽象的計算可能性の概念を構築し、ρ(x,x)=0 がスコット連続性と両立しないという問題を克服すること。
• ココンtinuousな評価を用いて、正の情報と負の情報の測度とスコット連続な緩和された距離関数との間の関係を確立すること。

提案手法

• ドメインを論理的理論の集合として表現し、スコット連続関数を入出力推論エンジンとして扱う。
• 順序論的および位相論的手法を用いて、スコット位相の文脈における部分ドメインと再統合写像を分析する。
• 反射性公理 ρ(x,x)=0 を除外することで緩和された距離関数を導入し、スコット連続性を可能にする。
• スコット開集合の格子上でのココンtinuousな評価を定義・研究し、スコット連続な緩和された距離関数を生成する。
• 非反射的論理を用いて情報系を一般化し、連続ドメインとの構造的整合性を検討する。
• 測度論的技法を用いてドメインの要素を正の情報と負の情報の観点から表現し、緩和された距離関数の構築と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分ドメインとは何か？ また、与えられたドメイン A の部分ドメインはドメインを形成するのか？
• RQ2 ドメイン理論の文脈において、どの再統合写像が有限的であるのか？
• RQ3 非反射的論理に基づく情報系の一般化の本質は何か？ そして、それらは連続ドメインに限定されるのか？
• RQ4 スコット連続性を満たす一般化された距離関数を用いて、スコット位相をどのように記述できるか？
• RQ5 ドメインの要素に関する正の情報と負の情報の測度から、スコット連続な緩和された距離関数を得ることは可能か？

主な発見

• 与えられたドメイン A の部分ドメインは実際にドメインを形成し、ドメイン階層の圏論的基盤を提供する。
• 順序論的分析を通じて有限的再統合写像が特徴づけられ、ドメイン再統合メカニズムの理解が明確化される。
• 非反射的論理を用いた情報系の一般化は連続ドメインに限定されず、情報系理論の範囲を拡大する。
• 公理 ρ(x,x)=0 は距離関数のスコット連続性と両立しないため、緩和された距離関数の導入が不可避である。
• スコット開集合系上のココンtinuousな評価は、スコット連続な緩和された距離関数を構築する新しい方法を提供する。
• ドメインの要素に関する正の情報と負の情報の測度は、新たに同定されたココンtinuousな評価のクラスを介して、スコット連続な緩和された距離関数を生成する。