[論文レビュー] Matheme and mathematics. On the main concepts of the philosophy of Alain Badiou

Maciej Malicki|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Psychoanalysis, Philosophy, and Politics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、『存在とイベント』においてアラン・バディウが集合論を彼の出来事の哲学の基礎として用いることについて鋭く検討し、『同一でない』『決定不能な』『名付けがたい』『出来事の場』といった核心的概念の数学的表現が、数学的に一貫せず、哲学的にも欠陥があると主張する。著者は、バディウの数学的枠組みが彼の真実と新規性の理論のための整合的な本体論的基盤を提供できないと結論づける。

ABSTRACT

In this paper, I present a critical discussion of mathematical arguments employed in the philosophy of event of Alain Badiou. On the basis of "Being and Event" as well as his other writings, I analyze the main notions of his philosophy such as the indiscernible, the undecidable, and the unnameable. The focus of my analysis is both on their mathematical consistency, and their philosophical consequences. I argue that the mathematical approach developed by Badiou is seriously defective, and, as a result, that it cannot serve as an ontological basis for the concept of event as presented in "Being and Event".

研究の動機と目的

• バディウの核心的本体論的概念（同一でない、決定不能な、名付けがたい、出来事の場）が集合論の枠組み内で数学的に一貫しているかどうかを評価すること。
• バディウの数学的形式的表現が、真実が忠誠と一般化拡大を通じて生じるという彼の哲学的主張を実際に支持しているかどうかを調査すること。
• バディウが援用する数学的構造（例えば、強制法、一般化集合、定義可能性）が、それらの実際の集合論的性質と整合しているかどうかを検証すること。
• 数学に基づく形式化された哲学的概念たる「数学的命題（matheme）」が、科学、政治、芸術、愛といった分野におけるバディウの真実の広範な理論を支えることができるかどうかを評価すること。
• 数学がバディウの哲学の有効で自立的な本体論的基盤であるという主張を、同定された形式的・解釈的矛盾を踏まえて疑問視すること。

提案手法

• 集合論における強制法と一般化拡大が真実と出来事のモデル化に果たす役割に注目し、バディウの中心的主張である「本体論は集合論に同一である」という主張を分析する。
• 特に強制公理と強制言語を用いて、標準的な集合論的原則を適用し、バディウが主張する『名付けがたい』と『同一でない』の存在と性質の妥当性を検証する。
• ジェックの定理14.7(ii)を用いて、ある文Sを強制する条件が存在しない場合、すべての条件が¬Sを強制する、という論理的帰結を示し、これによりバディウが定義する『名付けがたい』の存在が論理的に不可能であることを示す。
• フルケンの構成を評価し、それが集合論の公理を満たさず、したがって基底モデルや一般化モデルとして機能できないことから、バディウがそれを利用することの根拠を根底から揺るがす。
• 非標準的集合論モデルにおける有限集合と定義可能性の状態を検討し、有限集合がすべてのモデルで定義可能であるとは限らないことを示し、バディウの主張と矛盾することを明らかにする。
• 一般化集合と非構成可能集合の同一性を評価し、基底公理の下ではそれらが同等でないことが示され、バディウの同一視が無効であることを立証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バディウの哲学における『名付けがたい』の数学的表現は、集合論における標準的強制意味論と論理的に一貫しているか？
• RQ2 バディウが主張するように、『出来事の場』という真実の出現場所が、強制の下で基底モデル内に実際に存在するのか？
• RQ3 バディウの枠組み内で『同一でない』と『名付けがたい』が、矛盾を生じさせることなく、同時に別個の非空な数学的実体として維持可能か？
• RQ4 有限集合の定義可能性および一般化集合と非構成可能集合の同一性に関するバディウの主張が、形式的集合論的分析の下でどの程度成立するか？
• RQ5 『存在とイベント』における強制法と一般化拡大の使用が、真実が同一でなく決定不能であるという哲学的主張を実際に支持しているのか、それともそれを破壊しているのか？

主な発見

• 強制言語において、いかなる条件でも文Sを強制しない場合、すべての条件が¬Sを強制するという論理的帰結が生じる。このため、バディウが定義する『名付けがたい』という一意な要素の存在は論理的矛盾を生じさせ、不可能である。
• バディウが『名付けがたい』のモデルとして援用するフルケンの構成は、集合論の公理を満たさず、基底モデルや一般化モデルとして機能できない。このため、その概念の基盤を支えることはできない。
• バディウの枠組みにおいて『同一でない』と『名付けがたい』は別個の実体ではない。一意性を課したとき、『名付けがたい』は『同一でない』に還元され、概念的冗長性と不整合を生じる。
• すべての集合論モデルにおいて有限集合が定義可能であるとは限らない。非標準的モデルでは標準的ωが有限かつ定義可能でない場合があるため、バディウの主張と矛盾する。
• 一般化集合と非構成可能集合は同一ではない。基底公理の下では、非構成可能集合に対応しない一般化拡大が存在する。これにより、バディウの同一視は無効である。
• 『存在とイベント』の数学的枠組みは、真実が同一でなく決定不能であるという哲学的教義を支持できない。強制法は、出来事の場や名付けがたいの存在そのものを排除するため、理論の本体論的主張は数学的に不整合である。