[論文レビュー] Mather invariant, distortion, and conjugates for diffeomorphisms of the interval

Hélène Eynard-Bontemps, Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、区間上の $C^2$ 同相写像に関して、Mather 不変量と漸近的歪みの間の明確な関係を確立し、漸近的歪みが 0 であるための必要十分条件が、端点が放物型固定点であり、かつ Mather 不変量が自明であることであることを証明する。これは $C^2$ 正則性における共役類の閉包に関する主要な障害を解消し、$C^1$ ベクトル場の時間1写像として得られる同相写像の特徴付けへと拡張される。

ABSTRACT

We relate the Mather invariant of diffeomorphisms of the (closed) interval to their asymptotic distortion. For maps with only parabolic fixed points, we show that the former is trivial if and only if the latter vanishes. As a consequence, we obtain that such a diffeomorphism of the interval with no fixed point in the interior contains the identity in the closure of its C^{1+bv} conjugacy class if and only if it is the time-1 map of a C^1 vector field. A corollary of this is that diffeomorphisms that do not arise from vector fields are undistorted in the whole group of interval interval diffeomorphisms. Several related results in other regularity classes are obtained, and many open questions are addressed.

研究の動機と目的

• 区間上の $C^2$ 同相写像における Mather 不変量と漸近的歪みの関係を明確化すること。
• 有理数でない回転数を持つ $C^2$ 同相写像の共役類が、その $C^2$ 閉包に回転写像を含むかどうかという未解決問題を解消すること。
• 漸近的歪みが 0 であり、Mather 不変量が自明であるという条件によって、$C^2$ 同相写像が $C^1$ ベクトル場の時間1写像として得られる条件を特徴付けること。
• 得られた結果を、特に $C^2$ 位相における同相写像群における歪み要素の研究に応用すること。

提案手法

• 区間 $[0,1]$ 上の $f \in \mathrm{Diff}_+^{2,\Delta}([0,1])$ の漸近的歪みを、$\mathrm{dist}_\infty(f) := \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \mathrm{var}(\log Df^n)$ として定義し、分析する。
• Mather 不変量 $M_f$ は、回転を modulo として考える $C^2$ 円周同相写像であり、$C^1$ 共役に関して不変で、$C^2$ 位相において連続である。
• 最小不動点区間上で $f$ が固定する区間における漸近的歪みの局所化公式を確立し、区間同相写像への還元を可能にする。
• Szekeres ベクトル場の構造を用いて、$\mathrm{dist}_\infty(f) = 0$ であるための必要十分条件が、$f$ が放物型固定点を持ち、Mather 不変量が自明であることであることを証明する。
• この結果を応用し、$f$ の $C^2$ 中心化群が無限巡回群より大きい場合、恒等写像がその共役類の $C^2$ 閉包に含まれることを示す。
• $C^1$ 共役と近似技法を用いて、共役の $C^2$ 収束を押し上げる。均一収束する微分とリーマン和近似に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数でない回転数を持つ $C^2$ 同相写像の共役類は、その $C^2$ 閉包に対応する回転写像を含むか？
• RQ2 区間上の $C^2$ 同相写像において、Mather 不変量と漸近的歪みの正確な関係は何か？
• RQ3 どのような条件下で $C^2$ 同相写像が $C^1$ ベクトル場の時間1写像として得られるか？
• RQ4 Mather 不変量の自明性と端点の放物型性が、漸近的歪みの消失を完全に特徴づけられるか？
• RQ5 非巡回的 $C^2$ 中心化群が共役類の閉包に与える影響は何か？

主な発見

• 区間 $[0,1]$ 上の $f \in \mathrm{Diff}_+^{2,\Delta}([0,1])$ について、漸近的歪みが 0 であるための必要十分条件は、端点が放物型固定点であり、$f$ の Mather 不変量が自明であることである。
• 恒等写像が $f$ の共役類の $C^{1+\mathrm{bv}}$ 閉包に含まれるための必要十分条件は、$f$ が放物型端点を持ち、Mather 不変量が自明であることである。
• $\mathrm{Diff}_+^2([0,1])$ に属する同相写像 $f$ について、漸近的歪みが 0 であるための必要十分条件は、$f$ が各固定点で $C^1$-平坦な $C^1$ ベクトル場の時間1写像として得られることである。
• $f$ の $C^2$ 中心化群が無限巡回群より大きい場合、恒等写像は $f$ の共役類の $C^2$ 閉包に含まれる。
• 本稿は、[24] で提唱された、$C^2$ 同相写像における共役問題における漸近的歪みの役割に関する予想を裏付ける。
• 本稿は、Mather 不変量と歪みの相互作用を用いて、共役類が恒等写像を $C^2$ 開包に含む $C^2$ 同相写像を完全に特徴づけている。