[論文レビュー] Mathisson' spinning electron: noncommutative mechanics & exotic Galilean symmetry, 66 years ago

P. A. Horváthy|ArXiv.org|Mar 11, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1937年に提唱されたマチソンの古典的スピン電子の非相対論的極限が、ルキエルスキ、シュチル、ザークゼフスキーが提唱した加速度依存型非可換座標を持つモデルを導くことを示している。主な結果は、二重中心拡張を伴う特異なガリレオ対称性の導出であり、これは古典的スピン粒子と非可換力学、およびジッター動力学を結びつける。

ABSTRACT

The acceleration-dependent system with noncommuting coordinates, proposed by Lukierski, Stichel and Zakrzewski [Ann. Phys. 260, 224 (1997)] is derived as the non-relativistic limit of Mathisson's classical electron [Acta Physica Polonica 6, 218 (1937)], further discussed by Weyssenhoff and Raabe [Acta Physica Polonica 9, 7 (1947)]. The two-parameter centrally extended Galilean symmetry of the model is recoved using elementary methods. The relation to Schrödinger's Zitternde Elektron is indicated.

研究の動機と目的

• 非可換力学の古典的基礎を、マチソンの1937年相対論的スピン電子モデルから導出すること。
• マチソンの運動方程式の非相対論的極限が、ルキエルスキらの加速度依存型ラグランジアンを再現することを示すこと。
• 初等的な手法を用いて、二パラメータ中心拡張ガリレオ対称性を回復し、その物理的実現を確認すること。
• モデルの内部力学とシュレーディンガーのジッターング・エレクトロンとの関係、特にジッター動力学機構を通じての関連を明確にすること。
• スピン制約が非可約性および非相対論的極限における特異な対称性の出現に与える影響を分析すること。

提案手法

• スピンテンソル $ S^{\alpha\beta} $ を反対称と仮定し、マチソンの相対論的運動方程式の非相対論的極限を導出。
• スピンの大きさ $ s $ と非可換パラメータ $ \kappa $ を関係付けるジャッキ・ネアールのアンザッツ $ s = \kappa c^2 $ を適用し、非相対論的極限を可能にする。
• 非相対論的領域におけるマチソンの運動方程式から導かれる3階微分方程式 $ m\ddot{x}_i = -\kappa \epsilon_{ij} \dddot{x}_j $ を、核心的な力学法則として用いる。
• 自由運動と内部ジッター動力学を分離するため、重心座標 $ X_i = x_i + \epsilon_{ij} Q_j $ を導入し、ここで $ Q_i = - (\kappa/m)^2 \epsilon_{ij} \ddot{x}_j $ である。
• 直接積分および時間微分解析を用いて、運動量 $ P_i $、エネルギー $ H $、角運動量 $ J $、ブースト $ K_i $、加速度の大きさ $ I $ といった保存量を構成する。
• 非可換座標の観点から系を再解釈し、$ \{X_1, X_2\} = \theta = \kappa / m^2 $ を用いることで、非可換力学の構造が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルキエルスキらの加速度依存型モデルは、古典的相対論的スピン電子モデルから導出可能か？
• RQ2 マチソンのスピン電子の非相対論的極限は、非可換力学および特異なガリレオ対称性をどのように再現するか？
• RQ3 スピン制約 $ S^{\alpha\beta}u_\beta = 0 $ は、ジッター動力学および非可換座標の生成に果たす役割は何か？
• RQ4 非可約なポincare表現の非相対論的極限が、なぜ可約なガリレオ表現に帰着するのか？
• RQ5 ジッター動力学の運動は、$ m\dot{x}_i $ からの運動量のずれの内部力学とどのように関連しているか？

主な発見

• マチソンの1937年スピン電子モデルの非相対論的極限は、非可換座標を持つ系を記述する加速度依存型ラグランジアン $ L = \frac{m\dot{\vec{x}}^2}{2} + \frac{\kappa}{2} \dot{\vec{x}} \times \ddot{\vec{x}} $ を得る。
• 系はガリレオ群の二重中心拡張を示し、運動量 $ P_i = m\dot{x}_i + \kappa \epsilon_{ij} \ddot{x}_j $、エネルギー $ H = \frac{m\dot{\vec{x}}^2}{2} + \kappa \dot{\vec{x}} \times \ddot{\vec{x}} $、ブースト $ K_i = m x_i - t P_i + \kappa \epsilon_{ij} \dot{x}_j $ といった保存量を含む。
• 内部運動はジッター動力学として記述され、$ Q_i = - (\kappa/m)^2 \epsilon_{ij} \ddot{x}_j $ で定義されるベクトル $ \vec{Q} $ は、角速度 $ m/\kappa $ で一様に回転し、平面内で円運動を示す。
• 重心座標 $ \vec{X}_i = x_i + \epsilon_{ij} Q_j $ は $ \ddot{X}_i = 0 $ を満たし、重心の自由運動が確認される。
• 座標の非可換性は $ \{X_1, X_2\} = \theta = \kappa / m^2 $ で定量され、特異な対称性がジャッキ・ネアールのアンザッツを通じてスピンパラメータ $ \kappa $ と直接関連づけられる。
• 第三階微分方程式から導かれる保存量である加速度の大きさ $ I = \frac{\kappa^3}{2m^2} \ddot{\vec{x}}^2 $ は、標準的対称性を超える新たな保存量の存在を確認する。