[論文レビュー] $\mathscr{B}$-free sets and dynamics

Aurelia Bartnicka, Stanisław Kasjan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$β$-自由整数の特性関数によって生成される部分符号系として定義される$β$-自由シフトの位相的および測度論的力学系を調査する。力学系は一意な極小部分系（トーペリッツ系）によって支配され、内在的エルゴード性が証明され、不変測度とエントロピーを特徴付けるために「タイト集合」の概念が導入され、元来の結果を互いに素でかつ逆数和が収束する場合を超えて拡張する。

ABSTRACT

Let $B\subset \mathbb{N}$ and let $η\in \{0,1\}^\mathbb{Z}$ be the characteristic function of the set $F_B:=\mathbb{Z}\setminus\bigcup_{b}b\mathbb{Z}$ of B-free numbers. Consider $(S,X_η)$, where $X_η$ is the closure of the orbit of $η$ under the left shift S. When $B=\{p^2 : p\in P\}$, $(S,X_η)$ was studied by Sarnak. This case + some generalizations, including the case (*) of B infinite, coprime with $\sum_{b}1/b

研究の動機と目的

• βが無限大で、対ごとに互いに素であり、逆数和が収束するという古典的状況を超えて、$β$-自由シフトの力学的解析を拡張すること。
• 特に$X_\eta$が遺伝的でない場合に、$X_\eta \subsetneq X_\mathscr{B}$ であるときの部分符号系$X_\eta$の構造を解明すること。
• 一般の$β$-自由系における不変測度とエントロピーを特徴付けること、特にタイト性の概念を通じて行うこと。
• $β$-自由力学系とトーペリッツ系との関係を確立し、近接性問題を解決すること。
• 数論的問題への応用、特に$β$-自由数の間隔および豊富数の分布に関する応用。

提案手法

• 左シフト作用下での$β$-自由整数の特性関数$\eta$の軌道の閉包として定義される部分符号系$(S, X_\eta)$を定義する。
• 対数的密度$\delta$を用いて、すべての$b \in \u03b2$に対して$\delta(\mathcal{F}_\u03b2) < \delta(\mathcal{F}_{\u03b2 \setminus \{b\}})$を満たす$β$の「タイト集合」$\mathcal{F}_\u03b2$の概念を導入する。
• $\eta$が自然な$S$-不変測度$\nu_\eta$に関して準生成的であることを証明し、$\nu_\eta$の台をタイト性によって特徴付ける。
• タイトな$β$に対して、$(S, \widetilde{X}_\eta)$が内在的エルゴード的であり、すべての不変測度が準吸引部分系に台を持つことを示す。
• $\u03b2$に付随する標準的オドメータを用いて、許容性および極小部分系を分析する。
• 倍数の集合の漸近的密度および組合せ論的性質に関する結果を応用し、間隔の上限や豊富数の性質を含む数論的帰結を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 いつ$β$-自由部分符号系$(S, X_\eta)$が近接的であり、その極小部分系の構造はいかなるものか？
• RQ2 $X_\eta$が遺伝的でないのはどのような条件下か？ そしてこれは力学系および不変測度にどのように影響するか？
• RQ3 $β$のタイト性とミルスキー測度$\nu_\eta$の台との関係は何か？
• RQ4 $(S, \widetilde{X}_\eta)$の位相的エントロピーおよび不変測度は、$β$-自由数の自然密度とどのように関係するか？
• RQ5 力学的構造からどのような数論的帰結が得られるか、特に豊富数の集合に関して。

主な発見

• 部分符号系$(S, X_\eta)$は一意な極小部分系をもち、それはトーペリッツ系である。$X_\eta$のすべての点は、この極小集合に近接する。
• $X_\eta$が近接的であるための必要十分条件は、$β$が無限個の互いに素な部分集合を含むことである。
• タイトな$β$に対して、$(S, \widetilde{X}_\eta)$は内在的エルゴード的であり、すべての不変測度は準吸引部分系に台を持つ。
• $(S, \widetilde{X}_\eta)$および$(S, X_\mathscr{B})$の位相的エントロピーは、上漸近的密度$\overline{d}(\mathcal{F}_\u03b2)$に等しい。
• 軽い尾部（すなわち、$\overline{d}(\sum_{b>K} b\mathbb{Z}) \to 0$）をもつ$β$に対して、近接性と遺伝性が一致する。
• 豊富数の集合$\mathbf{A}$は、$\sum_{b \in \mathscr{B}_\mathbf{A}} 1/b < \infty$を満たすタイト集合$\mathscr{B}_\mathbf{A}$に関して$β$-自由であり、$d(\mathbf{P}) = 0$であるため、任意に長い連続する不足数の列が存在する。