[論文レビュー] Matings with laminations

Dzmitry Dudko|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、超吸引的2周期を持つ二次有理写像の非脱出集合 $χ_2$ を記述するため、新たな位相的構成「ラミネーションとのミキシング」を導入する。この構成により、$χ_2$ が、$χ$（マンデルブロ集合）の連続的像として、標準的な写像のもとで表され、バシリカ多項式のラミネーションとのミキシングとして実現可能であることが示される。この方法は、$χ$ の局所連結性の仮定を回避し、ジュリア集合が局所連結でない場合でも、動的ミキシングのパラメータ空間版として強固に機能する。

ABSTRACT

We give a topological description of the space of quadratic rational maps with superattractive two-cycles: its "non-escape locus" M2 (the analog of the Mandelbrot set M) is locally connected, it is the continuous image of M under a canonical map, and it can be described as M (minus the 1/2-limb), mated with the lamination of the basilica. The latter statement is a refined version of a conjecture of Ben Wittner, which in its original version requires local connectivity of M to even be stated. Our methods of mating with a lamination also apply to dynamical matings of certain non-locally connected Julia sets.

研究の動機と目的

• 超吸引的2周期を持つ二次有理写像の非脱出集合 $χ_2$ の位相的記述を、マンデルブロ集合 $χ$ に類似した形で提供すること。
• $χ$ の境界の局所連結性という未解決問題に依存せずに、バシリカ多項式のラミネーションとのミキシングを構成することで、ウィットナーの予想を条件なしに解決すること。
• 一方の動的集合（例えば、局所連結でないジュリア集合）が標準的なミキシングに適さない場合の、古典的ミキシング構成の一般化を図ること。
• $χ$ が局所連結でない場合でも、$χ_2$ が $χ$ における標準的写像のもとで連続的像であることを確立すること。

提案手法

• 単位円板 $\overline{\mathbb{D}}$ 上の閉同値関係として定義される、$K_B$（バシリカ多項式のフル・ジュリア集合）のラミネーション $L_B$ を用いて、『ラミネーションとのミキシング』の概念を導入する。
• $\mathcal{V}_1$（$\mathcal{M}$ と単位円板の自明なミキシング）を用いて、空間 $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} L_B$ を $(\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} \overline{\mathbb{D}})/L_B = \mathcal{V}_1 / L_B$ として構成する。
• パラメータ空間 $\mathcal{V}_1 \setminus \mathcal{M}$ に、パラメータ・ボッッハャー関数の逆関数と $1/z$ の合成を用いて、$L_B$ を埋め込むことで $\mathcal{L}_B$ を得る。
• 再正規化の前像と動的デコレーションタイルを用いて収束を制御することで、$f_c$ の動的平面からバシリカの動的平面への動的ストレートェンイング写像 $\omega$ を定義する。
• $\omega$ が、有理写像 $g_{m(c)}$ とそのモデル $g'_{m(c)}$ 間の同相写像に拡張されることを証明し、球面上での位相的同相性を保証する。
• $K_c$ が局所連結である場合、ラミネーションミキシング $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} L_B$ が、古典的ミキシング $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} K_B$ と位相的に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ空間 $\mathcal{V}_2$ が $\mathcal{M}$ と $K_B$ のミキシングであるというウィットナーの予想は、$\partial\mathcal{M}$ の局所連結性を仮定せずに確立可能か？
• RQ2 一方のジュリア集合が局所連結でない場合、古典的ミキシング構成をどのように一般化できるか？
• RQ3 超吸引的2周期を持つ二次有理写像の非脱出集合 $\mathcal{M}_2$ の位相的構造は何か？
• RQ4 $\mathcal{M}$ が局所連結でない場合でも、空間 $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} L_B$ は $\mathcal{M}_2$ と位相的に同型か？
• RQ5 ラミネーションに基づくミキシング $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} L_B$ が、古典的ミキシング $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} K_B$ と位相的に同型となる条件は何か？

主な発見

• 非脱出集合 $\mathcal{M}_2$ は、$\partial\mathcal{M}$ の局所連結性を仮定しなくても、$\mathcal{M}$ における標準的写像のもとで連続的像である。
• $\mathcal{M}_2$ は、$\mathcal{M}$（1/2リムを除く）とバシリカのラミネーション $L_B$ のミキシングとして位相的に同型である。すなわち、$\mathcal{M}_2 \cong \mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} L_B$ である。
• 空間 $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} L_B$ は適切に定義されており、$\partial\mathcal{M}$ が局所連結でない場合でも、$\mathcal{M}_2$ の位相的モデルを提供する。
• $K_c$ が局所連結である場合、ラミネーションミキシング $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} L_B$ は、古典的ミキシング $\mathcal{M} \cup_{\mathbb{S}^1} K_B$ と位相的に同型であり、この場合にウィットナーの元の予想が回復される。
• 動的ストレートェンイング写像 $\omega$ は、有理写像 $g_{m(c)}$ とそのモデルとの間で、球面上の全域的同相写像に拡張可能である。
• この方法は、超吸引的 $n$-周期を持つ二次有理写像の他の成分に対しても一般化可能であり、非局所連結な動的系への広範な応用可能性を示唆する。