[論文レビュー] Matlis' semi-regularity in trivial ring extensions issued from integral domains

Khalid Adarbeh, S. Kabbaj|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、整域 $A$ と $A$-加群 $E$ からなる自明な環拡大 $A \ltimes E$ におけるMatlisの半正則性（IF環性質）および関連する整合性条件の移行を調査する。主な貢献は、$E$ における除数的イデアル条件（DAC）を用いたこの拡大における半正則性の特徴付けであり、これは、ノエター的でもなく、半単純でもない新たな半正則環の族を生み出す。

ABSTRACT

This paper contributes to the study of homological aspects of trivial ring extensions (also called Nagata idealizations). Namely, we investigate the transfer of the notion of (Matlis') semi-regular ring (also known as IF-ring) along with related concepts, such as coherence, in trivial ring extensions issued from integral domains. All along the paper, we put the new results in use to enrich the literature with new families of examples subject to semi-regularity.

研究の動機と目的

• 整域 $A$ であるときの自明な環拡大 $A \ltimes E$ におけるMatlisの半正則性（IF環性質）の移行を調査すること。
• 自明な拡大 $A \ltimes E$ が半正則であるための必要十分条件を、特に $A$ が整合的または整閉である場合に特定すること。
• ノエター的でもなく、還元的でもない半正則環の新たな族を文献に追加することで、ヴォーン・ネウマン正則環や準フロベニウス環といった古典的クラスを超えて拡張すること。
• 自明な拡大 $A \ltimes E$ における半正則性のための $fp$-入射性および $E$ の可除性の役割を明確にすること。
• プリューファー整域、除数的整域、および非標準的ユニシリアル加群を用いた、半正則な自明な拡大の構成的例を提供すること。

提案手法

• 整域 $A$ と $A$-加群 $E$ からなる自明な環拡大 $R = A \ltimes E$ を用いて、ホモロジー的性質を研究する。
• 半正則環を、自己 $fp$-入射的（すなわち $R$ が $R$-加群として $fp$-入射的）である整合的環として特徴付ける。
• 除数的イデアル条件（DAC）：任意の $A$ の有限生成イデアル $I$ に対して、すべての有限生成イデアル $J$ について $(I : (I : J)) = J_v$ が成り立つ、という条件を用いて半正則性を特徴付ける。
• 整合的整域、プリューファー整域、および価値環に関する既知の結果を活用し、$A \ltimes \frac{Q(A)}{I}$ が半正則となる例を構成する。
• 加群 $E$ の構造、たとえば $\frac{Q(A)}{I}$ や価値環上の非標準的ユニシリアル加群を分析し、半正則性を検証する。
• ホモロジー的道具として、$M$ が有限表示可能であるときの $\operatorname{Ext}^1_R(M, E) = 0$ を用い、$fp$-入射性、したがって半正則性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整域 $A$ であるとき、自明な環拡大 $A \ltimes E$ がいつ半正則になるか。
• RQ2 除数的イデアル条件（DAC）は、$A \ltimes E$ の半正則性を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ3 半正則な自明な拡大を、ヴォーン・ネウマン正則でもなくノエター的でもないものとして構成できるか。
• RQ4 $E$ の $fp$-入射性または可除性は、$A \ltimes E$ の半正則性とどのように関係するか。
• RQ5 どのような種類の加群 $E$（たとえば $Q(A)/I$、非標準的ユニシリアル加群など）が、半正則な自明な拡大を生み出すか。

主な発見

• 自明な拡大 $A \ltimes \frac{Q(A)}{I}$ は、$\frac{Q(A)}{I}$ が除数的イデアル条件（DAC）を満たすときかつそのときに限り半正則である。
• 整域 $A$ が体でなく、整合的であるとき、$I$ が非ゼロの有限生成分数イデアルであれば、$A \ltimes \frac{Q(A)}{I}$ は、$A$ がプリューファー整域または除数的整域であれば半正則である。
• 整閉かつ整合的な整域 $A$ に対して、$A \ltimes \frac{Q(A)}{A}$ は、$A$ がプリューファー整域であるときかつそのときに限り半正則である。
• すべての有限生成イデアルが除数的である限り、整閉ではなく、除数的でもない整合的整域 $A$ が存在し、そのような $A$ に対して $A \ltimes \frac{Q(A)}{I}$ は半正則である。
• 価値環上の非標準的ユニシリアル加群 $E$ は、$E$ が $J/I$ と同型でない場合でも、半正則な自明な拡大 $A \ltimes E$ を生み出すことができる。
• この構成により、零因子を有するためヴォーン・ネウマン正則でなく、ノエター的でない構造のため準フロベニウスでもない、新たな半正則環の例が得られる。