[論文レビュー] Matrix equations of hydrodynamic type as lower-dimensional reductions of Self-dual type $S$-integrable systems

A. I. Zenchuk|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、行列 $Q \times Q$ 自己双対型 $S$-可積分偏微分方程式が、特性法を用いて解ける $Q \times n_0Q$ 二次線形一階偏微分方程式への低次元還元を許容することを示している。また、古典的解と波形破壊を示す解の両方を生成する新しいドレッシング法を導入し、$S$-可積分系と一次線形準線形系の間の技術を統一している。

ABSTRACT

We show that matrix $Q imes Q$ Self-dual type $S$-integrable Partial Differential Equations (PDEs) possess a family of lower-dimensional reductions represented by the matrix $ Q imes n_0 Q$ quasilinear first order PDEs solved in \cite{SZ1} by the method of characteristics. In turn, these PDEs admit two types of available particular solutions: (a) explicit solutions and (b) solutions described implicitly by a system of non-differential equations. The later solutions, in particular, exhibit the wave profile breaking. Only first type of solutions is available for (1+1)-dimensional nonlinear $S$-integrable PDEs. (1+1)-dimensional $N$-wave equation, (2+1)- and (3+1)-dimensional Pohlmeyer equations are represented as examples. We also represent a new version of the dressing method which supplies both classical solutions and solutions with wave profile breaking to the above $S$-integrable PDEs.

研究の動機と目的

• 高次元の $S$-可積分偏微分方程式と低次元の準線形行列偏微分方程式との間の関係を確立すること。
• これらの還元系の解が、非微分方程式を用いて暗黙的に記述可能であり、波形破壊を示すことも示すこと。
• $S$-可積分偏微分方程式およびその準線形還元の両方に適用可能な新しいドレッシング法の開発。
• 多次元非線形偏微分方程式を解くための特性法とドレッシング法の統一。
• 還元された偏微分方程式の解空間が無限個の任意関数を含み、標準的な流体力学的還元よりも解の豊かさが向上することを示すこと。

提案手法

• スペクトル構造および交換子構造を用いて、$S$-可積分偏微分方程式を $Q \times n_0Q$ 行列準線形一階偏微分方程式に還元する。
• 還元された偏微分方程式を特性法を用いて解き、非微分方程式によって暗黙的に定義された解を得る。
• 還元された偏微分方程式および元の $S$-可積分偏微分方程式の両方の解を生成する、修正されたドレッシング法を導入する。
• 微分が変数の部分集合でのみ現れる線形方程式を含むスペクトル系を用い、特性法による解の構成を可能にする。
• 行列関数 $\rho^{(k)}(w)$, $\tilde{\rho}(w)$ および対角行列 $T$ との交換子を用いて、偏微分方程式の構造を定義する。
• スペクトル問題の代数的変形と整合性条件を用いて解を導出し、逆スペクトル法の枠組みと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S$-可積分偏微分方程式は、特性法を用いて解ける低次元の準線形行列偏微分方程式に体系的に還元可能か？
• RQ2 これらの還元された偏微分方程式の解空間の構造は何か？ また、標準的な流体力学的還元と比べてどう異なるか？
• RQ3 ドレッシング法は、同一の枠組み内で古典的解と波形破壊解の両方を生成するために適応可能か？
• RQ4 $S$-可積分偏微分方程式のスペクトル系とその準線形還元のスペクトル系との関係は何か？
• RQ5 還元された偏微分方程式の解空間に含まれる任意関数は、全体の解の豊かさおよび可積分性にどのように影響するか？

主な発見

• 行列 $Q \times Q$ 自己双対型 $S$-可積分偏微分方程式は、$Q \times n_0Q$ 準線形一階偏微分方程式の族として低次元還元可能である。
• これらの還元された偏微分方程式は、明示的解と非微分方程式によって記述される暗黙的解の二種類の解を持つ。後者は波形破壊を示す。
• (1+1)次元の $S$-可積分偏微分方程式では、明示的解しか得られないが、波形破壊は高次元還元でのみ現れる。
• 新しいドレッシング法は、特性法によって記述される解空間と一致する古典的解および波形破壊解を再現する。
• 還元された偏微分方程式の解には $n_0Q^2$ 個の任意関数が含まれており、標準的な流体力学的還元よりも解空間が豊かであることを示している。
• スペクトル構造を通じて、特性法とドレッシング法が統一されており、ドレッシング法が $S$-可積分系にとどまらず、準線形偏微分方程式へも拡張可能であることが示されている。