[論文レビュー] Matrix factorization identity for almost semi-continuous processes on a Markov chain

Д. В. Гусак, E. V. Karnaukh|ArXiv.org|Aug 29, 2009

advanced mathematical theories参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限かつ非可約なマルコフ連鎖上での、ほぼ半連続的過程（almost semi-continuous processes）で、独立したステーションナリィ増分を有する過程に対して、行列因子分解恒等式を確立する。この恒等式を用いて、ラプラス変換および行列値特性関数を活用し、特に過程のドリフトおよびジャンプ成分に依存する条件下で、上界および下界（上界、下界）の分布を明示的に導出する。

ABSTRACT

In this article almost semi-continuous processes with stationary independent increments on a finite irreducible Markov chain are considered. For these processes the components of matrix factorization identity are concretely defined. On the basis of this concrete definition the relations for the distributions of extrema and distributions of their complements for the almost upper semi-continuous processes are established.

研究の動機と目的

• マルコフ連鎖上でのほぼ半連続的過程への行列因子分解恒等式の拡張を図り、従来の半連続的ケースの結果を一般化すること。
• マルコフ変調型レヴィ過程の文脈において、極値（上界、下界）およびそれらの補集合の同時分布を特徴づけること。
• 指数時間枠組み下での、最初の通過時刻の母関数および累積上界・下界の分布に対して明示的な公式を提供すること。
• ドリフト成分がゼロまたは正である場合の過程の挙動を分析し、特に生存確率および負のエクcursionの分布に注目すること。

提案手法

• 有限かつ非可約なマルコフ連鎖 $ x(t) $ と、各状態で独立したステーションナリィ増分を有する過程 $ \xi(t) $ を持つ2次元マルコフ過程 $ Z(t) = \{\xi(t), x(t)\} $ を用いる。
• 行列特性関数 $ \boldsymbol{\Phi}(s,\alpha) = \mathbf{E}[e^{i\alpha\xi(\theta_s)}] $ を定義し、ここで $ \theta_s $ は指数分布に従う確率変数である。この関数を $ s(s\mathbf{I} - \boldsymbol{\Psi}(\alpha))^{-1} $ として表現する。
• 行列因子分解恒等式 $ \boldsymbol{\Phi}(s,\alpha) = \boldsymbol{\Phi}_+(s,\alpha)\mathbf{P}_s^{-1}\boldsymbol{\Phi}^-(s,\alpha) $ を適用し、特性関数を上界および下界の分布と関連付ける。
• フーリエ・スティルチェス変換に対する投影作用素 $ [\cdot]_\pm $ を用い、特性関数の正負成分を分離する。
• 確率 $ P^0_{kr}(t) $ が表す事象 $ \xi(t) = 0 $ を記述する前向き方程式にラプラス＝カルソン変換を適用し、ゼロ遅延分布の母関数を導出する。
• 行列逆数およびジャンプ分布を用いて、$ \check{\mathbf{R}}_+ = \lim_{s\to 0} s \check{\mathbf{R}}^{-1}_+(s) $ の明示的極限表現を導出し、$ \xi^- $ および $ \mathbf{p}_- $ の分布を行列逆数およびジャンプ分布で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限かつ非可約なマルコフ連鎖上でのほぼ上半連続的過程に対して、行列因子分解恒等式をどのように具体的に定義できるか。
• RQ2 指数時間枠組み下での、このような過程の上界および下界の分布に対して、明示的な表現は何か。
• RQ3 ドリフトおよびジャンプ成分は、破産確率および負のエクcursionの分布にどのように影響を与えるか。
• RQ4 定常分布および行列 $ \mathbf{K}(r) $ は、過程の極限挙動を特徴づける上で果たす役割は何か。
• RQ5 どのような条件下で $ \xi^- $ の分布が存在し、行列演算を用いてどのように表現できるか。

主な発見

• 条件 $ m_1^0 > 0 $ の下で、$ \xi^- = \inf_{0\leq u\leq\infty} \xi(u) $ の厳密に負の値の分布は、$ \mathbf{E}[e^{r\xi^-}, \xi^- < 0] = \left[r\mathbf{K}^{-1}(r)(\mathbf{C} - r\mathbf{I})^{-1}\right]_- \check{\mathbf{R}}_+ $ で与えられる。
• ドリフト $ \mathbf{A} = 0 $ のとき、確率 $ \mathbf{p}_- = \mathbf{P}(\xi^- = 0) $ は $ \left(\boldsymbol{\Lambda} - \mathbf{N}(\mathbf{f}(0) - \mathbf{I})\right) \check{\mathbf{R}}_+ $ で与えられる。ここで $ \check{\mathbf{R}}_+ = \lim_{s\to 0} s \check{\mathbf{R}}^{-1}_+(s) $ である。
• 条件 $ m_1^0 > 0 $ の下で、$ \lim_{r\to 0} r\mathbf{K}^{-1}(r) = \frac{1}{m_1^0} \mathbf{P}_0 $ が成り立ち、長期的挙動が定常分布と関連づけられる。
• レベル $ x $ への最初の通過時刻の母関数は、上界のラプラス変換と関係しており、$ \overline{\mathbf{P}}_+(s,z) = \mathbf{E}[e^{-s\tau^+(z)}, \tau^+(z) < \infty] \mathbf{P}_s $ で表される。
• 行列 $ \mathbf{P}_s = s(s\mathbf{I} - \mathbf{Q})^{-1} $ は $ s \to 0 $ のとき定常遷移行列 $ \mathbf{P}_0 $ に収束し、$ \mathbf{P}_0 = \|\pi_r\| $ である。
• 負のエクcursion $ \overline{\xi}(t) $ の分布は、関係 $ \mathbf{P}^-(s,x) = \mathbf{P}(\overline{\xi}(\theta_s) < x) $ を通じて特徴づけられ、その母関数は行列逆数および投影作用素を用いて導出される。