[論文レビュー] Matrix Factorizations and Representations of Quivers I

Atsushi Takahashi|ArXiv.org|Jun 17, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、$
mathbb{Q}$-重み付き$A_\infty$-圏とねじれ複体を用いて、$A_n$型特異点$x^{n+1}$の行列因子化の導来圏と、$A_n$型ディンキン有向グラフの表現の導来圏との間の同値性を確立する。この圏に特異な安定性条件を構成し、安定性条件空間の原点に対応させることで、K. Saitoの一般化されたルート系に対する組合せ的枠組みを提供する。

ABSTRACT

This paper introduces a mathematical definition of the category of D-branes in Landau-Ginzburg orbifolds in terms of $A_\infty$-categories. Our categories coincide with the categories of (graded) matrix factorizations for quasi-homogeneous polynomials. After setting up the necessary definitions, we prove that our category for the polynomial $x^{n+1}$ is equivalent to the derived category of representations of the Dynkin quiver of type $A_{n}$. We also construct a special stability condition for the triangulated category in the sense of T. Bridgeland, which should be the "origin" of the space of stability conditions.

研究の動機と目的

• Landau-Ginzburg軌道空間におけるDブレーンの$A_\infty$-圏的枠組みを、$\mathbb{Q}$-重み付き圏を用いて開発すること。
• 準同次多項式の行列因子化の導来圏を、有向グラフ表現の導来圏と関連付けること。
• ホモロジー的データを回避して、正規重み系から一般化されたルート系を組合せ的に構成すること。
• 行列因子化の導来圏に、安定性条件空間の原点に対応する特別な安定性条件を構成すること。

提案手法

• 準同次多項式$f$に対して、$
  mathbb{C}$上の$
  mathbb{Q}$-重み付き$A_\infty$-圏に、追加の$\frac{2}{h}\mathbb{Z}$-重みを導入し、$\mathcal{A}_f$を定義する。
• $\mathcal{A}_f$上のねじれ複体の圏を構成し、これは$f$の行列因子化と同値であることを示す。
• 準同次度から来る$\mathbb{Z}$-作用を組み込むために、$\mathbb{Z}$-自己同型導来圏$D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$を定義する。
• $D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$の対象に対して、重みシフトの対角行列に基づく位相関数$\phi_\alpha$を定義する。
• 単位根を用いて中心的質量写像$Z_\omega: K_0(D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)) \to \mathbb{C}$を定義し、$Z_\omega$と位相関数がBridgelandの安定性条件の公理を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列因子化の導来圏$D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$（$f = x^{n+1}$）は、$A_n$型ディンキン有向グラフの表現の導来圏として実現可能か？
• RQ2 $D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$は、$\mathbb{Z}$-自己同型導来圏として、強いたくさん例外的集合をもつか？
• RQ3 $D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$に、中心的質量$Z_\omega$と位相関数$\phi_\alpha$がBridgelandの公理を満たす安定性条件を構成可能か？
• RQ4 $K_0(D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f^*))$の格子とその交差形式は、ミルナー格子$(H_2(X_1,\mathbb{Z}), -I)$と同型か？
• RQ5 構成された安定性条件は、鏡像双対性における普遍変形の基底空間の原点に対応するか？

主な発見

• $f = x^{n+1}$の場合、$D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$は$A_n$型ディンキン有向グラフの表現の導来圏と同値であり、行列因子化と有向グラフ表現との間の直接的な関係を確立する。
• $D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$は、$h(h-1)$個の対象からなる強いたくさん例外的集合をもち、異なる対象間の高次ホモトピー群が消える。
• 中心的質量$Z_\omega$と位相関数$\phi_\alpha$を用いて、$D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f)$上にBridgelandの安定性条件のすべての公理を満たす安定性条件を構成した。
• 中心的質量は$Z_\omega([M_{l,i}]) = 2\sin(\frac{l}{h}\pi) \cdot e^{\pi\sqrt{-1}\phi_{M_{l,i}}}$を満たし、位相とミルナー多様体の量子周期が関連づけられる。
• $D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f^*)$上のセルレ関手は$S^h \simeq [3h - 2a^* - 2b^* - 2c^*]$を満たし、期待されるモノドロミー行動と一致する。
• $K_0(D^b_{\mathbb{Z}}(\mathcal{A}_f^*))$の格子とその交差形式は、ミルナー格子$(H_2(X_1,\mathbb{Z}), -I)$と同型であり、予想された格子同型が裏付けられた。