[論文レビュー] Matrix factorizations with more than two factors

Tim Tribone|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正則局所環における行列因子分解を2因子から $d \geq 2$ 個の因子へ一般化し、そのような因子分解の安定圏が明示的な自己同型関手を備えた三角的構造を持つことを確立する。KnörrerとSolbergの結果を拡張し、$d$-因子行列因子分解の圏を、分岐被覆 $R = S/(f)$ の $d$ 重のスケール群代数上の最大コhen-Macaulay加群の圏と同定することで、最終的に2周期的分解を持つ非可換特異点環に似たホモロジー的性質を持つことを示している。

ABSTRACT

Given an element $f$ in a regular local ring, we study matrix factorizations of $f$ with $d \ge 2$ factors, that is, we study tuples of square matrices $(φ_1,φ_2,\dots,φ_d)$ such that their product is $f$ times an identity matrix of the appropriate size. Several well known properties of matrix factorizations with $2$ factors extend to the case of arbitrarily many factors. For instance, we show that the stable category of matrix factorizations with $d\ge 2$ factors is naturally triangulated and we give explicit formula for the relevant suspension functor. We also extend results of Knörrer and Solberg which identify the category of matrix factorizations with the full subcategory of maximal Cohen-Macaulay modules over a certain non-commutative algebra $Γ$. As a consequence of our findings, we observe that the ring $Γ$ behaves, homologically, like a "non-commutative hypersurface ring" in the sense that every finitely generated module over $Γ$ has an eventually $2$-periodic projective resolution.

研究の動機と目的

• 正則局所環における行列因子分解の理論を2因子から $d \geq 2$ 個の因子へ拡張すること。
• $d$-因子行列因子分解の安定圏が明示的な自己同型関手を備えた自然な三角的構造を持つことを示すこと。
• KnörrerとSolbergによる非可換代数 $\Gamma$ 上の最大コhen-Macaulay加群と行列因子分解の同値性を $d \geq 2$ 個の因子へ一般化すること。
• $d$-因子因子分解に関連する代数 $\Gamma$ が Iwanaga-Gorenstein であり、すべての有限生成 $\Gamma$-加群が最終的に2周期的プロジェクト型分解を持つことを示すこと。

提案手法

• $S$-加群上の自由加群の自己準同型の $d$ 重組 $(\varphi_1, \dots, \varphi_d)$ を、$\varphi_1 \cdots \varphi_d = f \cdot \text{id}$ を満たすものとして $d$-因子行列因子分解として定義する。
• 因子分解条件の巡回的対称性を用いて、カテゴリ $\text{MF}_S^d(f)$ 内の準同型および同型を定義する。
• $\text{MF}_S^d(f)$ がフレーバー型カテゴリであることを証明し、その安定圏が自然な三角的構造を備えることを示す。
• $R = S/(f)$ の $d$ 重分岐被覆のスケール群代数上の最大コhen-Macaulay加群の圏と $\text{MF}_S^d(f)$ の間の同値を構成する。
• 因子分解成分の巡回置換を用いて、安定圏上の自己同型関手を明示的に計算する。
• 行列式の議論と $f$ の既約性を用いて、非可約 $d$-因子因子分解の最小サイズを制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則局所環における行列因子分解を2因子から $d \geq 2$ 個の因子へどのように一般化できるか？
• RQ2 $d$-因子行列因子分解の安定圏は自然に三角的構造を持つのか？ もしそうなら、自己同型関手の明示的形は何か？
• RQ3 $\Gamma$ 上の非可換代数における行列因子分解と最大コhen-Macaulay加群の同値性を $d \geq 2$ 個の因子へ拡張できるか？
• RQ4 $d$-因子因子分解に関連する代数 $\Gamma$ は、非可換特異点環の性質（例えば Iwanaga-Gorenstein 条件や最終的に2周期的分解）を示すのか？
• RQ5 $f$ の既約性は、非可約 $d$-因子行列因子分解のサイズにどのような制約を課えるか？

主な発見

• $d$-因子行列因子分解の安定圏は自然に三角的構造を持ち、自己同型関手は因子分解成分の巡回置換によって明示的に与えられる。
• $\text{MF}_S^d(f)$ の圏は、$R = S/(f)$ の $d$ 重分岐被覆のスケール群代数上の最大コhen-Macaulay加群の圏と同値であり、Knörrerの結果を一般化する。
• $d$-因子因子分解に関連する代数 $\Gamma$ は Iwanaga-Gorenstein であり、すべての有限生成 $\Gamma$-加群は最終的に2周期的プロジェクト型分解を持つ。
• $f$ が既約であれば、サイズが $d$ より小さい非可約 $d$-因子行列因子分解はすべて擬似射影的であるため、非擬似射影的非可約因子分解の最小サイズは $d$ 以上である。
• $\mathbb{E}_6$、$\mathbb{E}_7$、$\mathbb{E}_8$ 特異点に対して、極大イデアルに属する成分を持つ非可約 $3$-因子行列因子分解の明示的例が構成され、それらの最小性および非可約性が確認された。