[論文レビュー] Matrix-Free Approximate Equilibration

Andrew Bradley, Walter Murray|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、符号付き要素を有する非対称および対称行列に対する行列フリーな近似等化アルゴリズムを提案し、行列ベクトル積のみを用いて反復的に行と列のノルムをバランスさせる。主な貢献は、直接的な行列アクセスが不要であるにもかかわらず、100〜200回程度の行列ベクトル積で条件数を顕著に低減でき、しばしば最適に近い等化が達成できることである。

ABSTRACT

The condition number of a diagonally scaled matrix, for appropriately chosen scaling matrices, is often less than that of the original. Equilibration scales a matrix so that the scaled matrix's row and column norms are equal. Scaling can be approximate. We develop approximate equilibration algorithms for nonsymmetric and symmetric matrices having signed elements that access a matrix only by matrix-vector products.

研究の動機と目的

• 直接的な要素アクセスを避けることにより、符号付き要素を有する行列に対する行列フリーなアルゴリズムを開発し、近似等化を実現すること。
• 従来は要素アクセスに依存していた等化技術を、そのアクセスが高コストまたは不可能な状況における行列へと拡張すること。
• 特に不定行列を含む非対称および対称行列の条件数を、行列ベクトル積のみを用いて改善すること。
• ユーベル・フラワー（University of Florida）のスパース行列コレクションからのスパース行列を対象に、数値実験を通じて本手法の有効性を評価すること。
• 少数の行列ベクトル積で、大規模問題に対しても顕著な条件数低減が達成できることを示すこと。

提案手法

• 非対称行列および対称行列それぞれに対して、snbinおよびssbinアルゴリズムを提案し、行列ベクトル積のみを用いる。
• 行と列のノルム（対称行列の場合は行ノルムのみ）の比に基づく反復的更新を用いてスケーリングベクトルを調整する。
• 適応的停止なしに固定回数の反復（例：128回）を実行し、経験的に観察された収束特性に依存する。
• 可約性の問題を回避し収束安定性を向上させるために、対称行列の場合にsnbinに類似した挙動に切り替える。
• スケーリングされた行列の最大行（または列）2ノルムと最小行（または列）2ノルムの比、およびスケーリング行列の条件数を性能指標として用いる。
• MATLABでアルゴリズムを実装し、UFスパース行列コレクションの741個の非対称行列および466個の対称行列でテストした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号付き行列に対して、直接的な要素アクセスなしに行列ベクトル積のみを用いて近似等化を効果的に達成できるか？
• RQ2 行列フリーな等化アルゴリズムは、非対称および対称行列、特に不定行列の条件数低減にどの程度有効か？
• RQ3 行列ベクトル積の回数が等化の質に与える影響は何か？実用的な利点を得るにはどの程度の回数が必要か？
• RQ4 条件数低減の観点から、提案手法の性能は正確な等化やジャコビスケーリングと比べてどの程度か？
• RQ5 アルゴリズムの出力ばらつきが信頼性に与える影響は何か？少数の行列ベクトル積で一貫した結果を得られるか？

主な発見

• snbinおよびssbinアルゴリズムは、サイズが6桁のオーダーにわたるあらゆる行列に対して128反復後、最大行（または列）ノルムと最小行（または列）ノルムの比が1.5〜6の間で安定する。
• スケーリングされた行列の条件数は、元の行列よりもほぼ常に顕著に小さく、条件数低減プロットにおいて多くの点が対角線より下に位置している。
• 対称行列の場合、スケーリングされた行列の条件数はしばしば10倍以上に低減され、5回の実行で密集したクラスタが得られ、出力のばらつきが小さいことが示された。
• アルゴリズムは安定的かつ一貫的に収束し、10回の個別実行で密に近い収束履歴が得られ、耐障害性が確認された。
• 対称行列の場合にsnbinに類似した挙動に切り替えることで、可約性に起因する停滞を回避し、収束性が向上した。
• 対称行列では約100回、非対称行列では約200回の行列ベクトル積で、効果的な等化が達成可能であり、大規模問題に対しても実用的である。