[論文レビュー] Matrix Models and Geometry of Moduli Spaces

Leonid Chekhov|ArXiv.org|Sep 1, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、Λ、X、対数項を含む特定のポテンシャルを用いて、リーマン面の離散化されたモジュライ空間 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ の行列模型形式を導入する。この模型の分配関数は、偶数次の時間変数 $t^\pm_{2n}$ で表され、コンツェビッチ型の生成関数と二次微分作用素に分解され、離散化空間上の交差数が、連続的モジュライ空間の最高次数コホモロジー類と一致することを示している。

ABSTRACT

We give the description of discretized moduli spaces (d.m.s.) $\Mcdisc$ introduced in \cite{Ch1} in terms of discrete de Rham cohomologies for moduli spaces $\Mgn$. The generating function for intersection indices (cohomological classes) of d.m.s. is found. Classes of highest degree coincide with the ones for the continuum moduli space $\Mc$. To show it we use a matrix model technique. The Kontsevich matrix model is the generating function in the continuum case, and the matrix model with the potential $Nα r {\bigl(- \fr 14 ŁXŁX -\fr12\log (1-X)-\fr12X\bigr)}$ is the one for d.m.s. In the latest case the effects of Deligne--Mumford reductions become relevant, and we use the stratification procedure in order to express integrals over open spaces $\Mdisc$ in terms of intersection indices, which are to be calculated on compactified spaces $\Mcdisc$. We find and solve constraint equations on partition function $\cal Z$ of our matrix model expressed in times for d.m.s.: $t^\pm_m= r \fr{\d^m}{\dł^m}\fr1{\e^ł-1}$. It appears that $\cal Z$ depends only on even times and ${\cal Z}[t^\pm_\cdot]=C(åN) \e^{\cal A}\e^{F(\{t^{-}_{2n}\}) +F(\{-t^{+}_{2n}\})}$, where $F(\{t^\pm_{2n}\})$ is a logarithm of the partition function of the Kontsevich model, $\cal A$ being a quadratic differential operator in $\dd{t^\pm_{2n}}$.

研究の動機と目的

• 離散的デ・ラームコホモロジーを用いて、離散化モジュライ空間 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ の幾何を記述すること。
• これらの離散化モジュライ空間上の交差指数を生成する分配関数を持つ行列模型を導出すること。
• 離散化空間上の最高次数コホモロジー類が、連続的 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ と一致することを示すこと。
• 時間変数 $t^{\pm}_m$ を $1/(e^\lambda - 1)$ の微分により定義し、その上で分配関数 $\cal Z$ に課される制約方程式を解くこと。
• コンツェビッチ模型の対数分配関数と二次微分作用素を含む、因子分解形の分配関数を確立すること。

提案手法

• 離散化モジュライ空間をモデル化するために、$N\alpha\,{\rm tr}\left(-\frac{1}{4}\Lambda X\Lambda X - \frac{1}{2}\log(1-X) - \frac{1}{2}X\right)$ というポテンシャルを持つ行列模型の使用。
• ストラティフィケーション手順を適用し、開空間 ${\cal M}_{g,n}^{\text{disc}}$ 上の積分を、コンパクト化された空間 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 上の交差指数に関連付ける。
• 時間変数 $t^{\pm}_m = {\rm tr}\left( \frac{\partial^m}{\partial \lambda^m} \frac{1}{e^\lambda - 1} \right)$ を定義し、分配関数をパrameter化する。
• 分配関数 $\cal Z$ に課される制約方程式を導出し、生成関数技法を用いて解く。
• $\cal Z$ を $C(\alpha N)\,{\rm e}^{\cal A} \,{\rm e}^{F(\{t^{-}_{2n}\}) + F(\{-t^{\pm}_{2n}\})}$ として表現し、ここで $F$ はコンツェビッチ模型の対数分配関数である。
• α と N における摂動展開を用いて低 genus 項を計算し、1個の穴を持つ genus 2 について明示的な計算を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的デ・ラームコホモロジーを用いて、離散化モジュライ空間 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ をどのように記述できるか？
• RQ2 どの行列模型ポテンシャルが、これらの離散化モジュライ空間上の交差数を生成するか？
• RQ3 離散化空間上の最高次数コホモロジー類は、連続的モジュライ空間 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ 上のそれらと一致するか？
• RQ4 時間変数 $t^{\pm}_m$ が $1/(e^\lambda - 1)$ の $\partial^m / \partial \lambda^m$ により定義されるとき、分配関数 $\cal Z$ にどのような制約が課されるか？
• RQ5 分配関数 $\cal Z$ は、コンツェビッチ模型の成分と二次微分作用素に分解可能か？

主な発見

• 行列模型の分配関数 $\cal Z$ は、偶数次の時間 $t^{\pm}_{2n}$ のみに依存しており、系に対称性が存在することを示している。
• 分配関数は $\cal Z[t^{\pm}_{\cdot}] = C(\alpha N)\,{\rm e}^{\cal A}\,{\rm e}^{F(\{t^{-}_{2n}\}) + F(\{-t^{\pm}_{2n}\})}$ と因子分解され、ここで $F$ はコンツェビッチ模型の分配関数の対数である。
• 二次微分作用素 $\cal A$ は時間変数 $t^{\pm}_{2n}$ に作用し、コンツェビッチ模型の寄与を変更する。
• 離散化モジュライ空間 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ は、連続的空間 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ と同じ最高次数の交差数を再現する。
• 1個の穴を持つ genus 2 について、係数 $\langle\tau_4\rangle_2 = \frac{1}{1152}$ が、$w_2(\lambda)$ の摂動展開における主要項として明示的に計算されている。
• $\alpha$ と $N$ における $w(\lambda)$ の摂動展開により、$\cal F_1$, $\cal F_2$, および $\cal F_3$ が奇数次の時間 $\xi^\pm_{2n+1}$ で表され、既知のコンツェビッチ模型の結果と一致する。