[論文レビュー] Matrix P-norms are NP-hard to approximate if p ≠1,2,∞

Julien M. Hendrickx, Alex Olshevsky|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2009

Matrix Theory and Algorithms被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、任意の有理数 p ∈ [1, ∞) に対して、p ≠ 1, 2 の場合、行列の p-ノルムを任意の相対精度で近似することは NP 困難であることを証明しており、また、∞,p 混合ノルムの近似についても、任意の有理数 p ∈ [1, ∞) に対して NP 困難であることを示している。これらの結果は、数値線形代数におけるノルム近似の根本的な計算限界を確立する。

ABSTRACT

Abstract. We show that for any rational p ∈ [1, ∞) except p = 1,2, unless P = NP, there is no polynomial-time algorithm for approximating the matrix p-norm to arbitrary relative precision. We also show that for any rational p ∈ [1, ∞) including p = 1, 2, unless P = NP, there is no polynomial-time algorithm approximates the ∞, p mixed norm to some fixed relative precision. 1. Introduction. The

研究の動機と目的

• 有理数 p ∈ [1, ∞) に対する行列の p-ノルム近似の計算複雑性を特定すること。
• 多項式時間アルゴリズムが行列の p-ノルムを任意の相対誤差内で近似可能かどうかを調査すること。
• p ∈ [1, ∞) におけるすべての有理数 p に対して、∞,p 混合ノルムへの硬度結果を拡張すること。
• このような近似が P = NP でない限り NP 困難であることを確立すること。

提案手法

• 既知の NP 困難問題から行列の p-ノルム近似問題への還元。
• 組合せ論的およびスペクトル的技法を用いて、行列ノルムと NP 完全な決定問題との関係を確立。
• p-ノルム近似が下位の NP 困難問題を解けるような行列インスタンスの構築。
• 多項式時間近似アルゴリズムが存在すると仮定し、矛盾を導くことで背理法による証明。
• 双対性およびノルムの同値性の議論を用いて、∞,p 混合ノルムへの結果の拡張。
• 還元における計算可能性と精度を保証するため、p の有理数値に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≠ 1, 2, ∞ の場合、行列の p-ノルムを任意の相対精度で多項式時間内に近似することは可能か？
• RQ2 任意の有理数 p ∈ [1, ∞) に対して、∞,p 混合ノルムを固定された相対精度内で近似可能な多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 p が有理数であり {1, 2, ∞} に属さない場合、行列の p-ノルム近似の計算複雑性は何か？
• RQ4 ∞-ノルムと p-ノルムを含む混成ノルムの近似の難易度は拡張可能か？
• RQ5 行列の p-ノルムに対する多項式時間近似スキームが存在するならば、P = NP を示すか？

主な発見

• 任意の有理数 p ∈ [1, ∞) に対して、p = 1 および p = 2 を除き、行列の p-ノルムを任意の相対精度で近似することは NP 困難である。
• p-ノルムの NP 困難性は、P ≠ NP の仮定の下で成立する。
• 任意の有理数 p ∈ [1, ∞) に対して、∞,p 混合ノルムを固定された相対精度で近似することは NP 困難である。
• 硬度は区間 [1, ∞) 内のすべての有理数 p に適用され、p = 1 および p = 2 を含む。
• これらの結果は、計算線形代数における行列ノルム近似の実行可能性に根本的な限界を確立する。
• P = NP でない限り、このようなノルムを任意の精度で近似可能な多項式時間アルゴリズムは存在しない。