[論文レビュー] Matrix-Product Constructions for Hermitian Self-Orthogonal Codes

Somphong Jitman, Todsapol Mankean|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限体 $\mathbb{F}_{q}$、$q = r^2$ 上のエルミート自己直交符号のための新しい行列積構成法を提示する。入力符号がエルミート自己直交であることおよび基になる行列がユニタリであることの要件を緩和することで、弱く準ユニタリおよび弱く反準ユニタリ行列を用いた一般化された基準を確立し、優れたエルミート自己直交符号（一般化リード・ソロモン符号から得られる自己双対例を含む）の構成を可能にする。

ABSTRACT

Self-orthogonal codes have been of interest due to there rich algebraic structures and wide applications. Euclidean self-orthogonal codes have been quite well studied in literature. Here, we have focused on Hermitian self-orthogonal codes. Constructions of such codes have been given based on the well-known matrix-product construction for linear codes. Criterion for the underlying matrix and the input codes required in such constructions have been determined. In many cases, the Hermitian self-orthogonality of the input codes and the assumption that the underlying matrix is unitary can be relaxed. Some special matrices used in the constructions and illustrative examples of good Hermitian self-orthogonal codes have been provided as well.

研究の動機と目的

• 自己直交符号の行列積構成法をエルミートの場合に拡張し、入力符号および基になる行列に関する制約を緩和する。
• 得られる行列積符号がエルミート自己直交であるための、基になる行列および入力符号に関する必要十分条件を特定する。
• 特殊な行列と既知の符号族（例：一般化リード・ソロモン符号）を用いて、明示的な優れたエルミート自己直交符号の例を構成する。
• 行列 $A$ の構造的性質（$\mathbb{F}_{q}$ 上で $AA^\dagger$ が対角または反対角となるもの）を調査し、弱く準ユニタリおよび弱く反準ユニタリ行列を導入する。
• エルミート自己直交符号を用いた対称量子符号の構築への応用を示す。

提案手法

• 線形符号 $C_1, \dots, C_s$ を $\mathbb{F}_q$ 上に取り、行列 $A \in M_{s,l}(\mathbb{F}_q)$ を用いて積符号 $C = [C_1, \dots, C_s] \cdot A$ を構成する。
• 符号 $C$ がエルミート自己直交であるための基準を確立する：$AA^\dagger$ が対角または反対角であり、かつ入力符号が特定の双対性条件を満たす必要がある。
• ユニタリ行列の一般化として、弱く準ユニタリ行列（$AA^\dagger = \lambda D$、$D$ は対角行列）および弱く反準ユニタリ行列（$AA^\dagger = \lambda A_d$、$A_d$ は反対角行列）の概念を導入する。
• 構成法を一般化リード・ソロモン（GRS）符号に適用し、$C_1 = \mathrm{GRS}_{n,k}(w,\gamma)$ および $C_2 = (\mathrm{GRS}_{n,k+i}(w,\gamma))^\perp_H$ を用いることで、明示的なパラメータを持つ符号を導出する。
• 得られる符号の最小距離 $d$ は、$\min\{2(n-k+1), k+i+1\}$ で下から抑えられ、場合によっては既存の下界を改善する。
• 例として $q = 9, 16, 25, 49$ を用い、長さ $2n$、次元 $n-i$、最小距離 $d \geq 10$ から $d \geq 50$ までの符号を構成した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列積構成において、入力符号のエルミート自己直交性および基になる行列のユニタリ性を緩和することは可能か？
• RQ2 $\mathbb{F}_q$、$q = r^2$ 上の行列 $A$ が、行列積符号がエルミート自己直交となるように満たすべき構造的性質は何か？
• RQ3 非自己直交入力符号および非ユニタリ行列を用いて、優れたエルミート自己直交符号を構成できるか？
• RQ4 GRS符号およびそのエルミート双対から得られる行列積符号の最小距離にはどのような下界が存在するか？
• RQ5 弱く準ユニタリおよび弱く反準ユニタリ行列を用いて、新たなエルミート自己直交符号の族を生成できるか？

主な発見

• 本稿では、行列 $A$ が $AA^\dagger$ を対角または反対角とする場合に、行列積符号がエルミート自己直交となる一般基準を確立した。
• 入力符号がエルミート自己直交であることおよび $A$ がユニタリであることの要件を緩和でき、より広い構成の柔軟性を実現した。
• $q = 9$ の場合、$[18,5,d]_{9}$ 符号で $d \geq 10$ を達成した。$q = 49$ の場合、$[98,25,d]_{49}$ 符号で $d \geq 50$ を得た。
• $i = 0$ の場合、パラメータ $[2n,n,d]_q$ のエルミート自己双対符号が得られ、$d \geq \min\{2(n-k+1), k+1\}$ が成り立つ。
• GRS符号およびそのエルミート双対を用いることで、$q = 49$ の場合、$d \geq 18$ から $d \geq 50$ までの符号を構成し、優れた最小距離性能を示した。
• 本研究では、緩和された構成を可能にする鍵となる要素として、弱く準ユニタリおよび弱く反準ユニタリ行列を同定し、特徴づけた。