[論文レビュー] Matrix Product Density Operators: when do they have a local parent Hamiltonian?

Chi-Fang Chen, Kohtaro Kato+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2020

Quantum many-body systems参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Y字型の完全正値写像から構成される行列積密度演算子（MPDO）が、局所的親ハミルトニアンのギブス状態であるかどうかを調査する。条件付き相互情報量（CMI）の指数的減衰を分析することで、自明な補正可能代数を持つ双確率的かつ正定値なチャネルに対して、CMIが指数的に減衰することを証明し、これにより準局所的親ハミルトニアンの存在が示される。さらに、この結果をすべての such チャネルに一般化するための量子データ処理不等式の予想を提示する。

ABSTRACT

We study whether one can write a Matrix Product Density Operator (MPDO) as the Gibbs state of a quasi-local parent Hamiltonian. We conjecture this is the case for generic MPDO and give supporting evidences. To investigate the locality of the parent Hamiltonian, we take the approach of checking whether the quantum conditional mutual information decays exponentially. The MPDO we consider are constructed from a chain of 1-input/2-output (`Y-shaped') completely-positive maps, i.e., the MPDO have a local purification. We derive an upper bound on the conditional mutual information for bistochastic channels and strictly positive channels and show that it decays exponentially if the correctable algebra of the channel is trivial. We also introduce a conjecture on a quantum data processing inequality that implies the exponential decay of the conditional mutual information for every Y-shaped channel with trivial correctable algebra. We additionally investigate a close but nonequivalent cousin: MPDO measured in a local basis. We provide sufficient conditions for the exponential decay of the conditional mutual information of the measured states and numerically confirm they are generically true for certain random MPDO.

研究の動機と目的

• 行列積密度演算子（MPDO）が局所的親ハミルトニアンのギブス状態である条件を特定すること。
• 親ハミルトニアンの局所性の代理として、条件付き相互情報量（CMI）の減衰を分析すること。
• Y字型チャネルから導かれるMPDOにおけるCMIの指数的減衰の十分条件を確立すること。
• 補正可能代数および回復チャネルがCMIの挙動に与える役割を調査すること。
• 測定済みMPDOにまで結果を拡張し、減衰条件の一般性について数値的証拠を検討すること。

提案手法

• 局所的純化構造を有する1入力/2出力の完全正値写像（Y字型チャネル）から構成されるMPDOを分析する。
• 量子相関の尺度として条件付き相互情報量（CMI）を用い、その指数的減衰を準局的性の兆候とする。
• 強いデータ処理不等式（DPI）定数およびCMIのトレースノルムバージョンを用いて相関の減衰を束縛する。
• ヒルベルトの射影的距離および一般化された量子ウィーラントの不等式を用いて、CP写像列の収縮率を一様に束縛する。
• 自明な補正可能代数の下で、双確率的かつ正定値なチャネルに対するCMIの上界を導出する。
• すべてのY字型チャネルにおいて指数的CMI減衰を示す完全に収縮的なDPIに関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Y字型チャネルにどのような条件下で、対応するMPDOの条件付き相互情報量が指数的に減衰するか？
• RQ2 自明な補正可能代数を有するY字型チャネルから構成される一般的なMPDOに対して、CMIの指数的減衰を厳密に確立できるか？
• RQ3 これらの設定において、トレースノルムバージョンのCMIは、標準的なCMIと同じ減衰挙動を示すか？
• RQ4 補正可能代数は、MPDOにおけるCMIの減衰速度にどのように寄与するか？
• RQ5 測定済みMPDOにおけるCMIの指数的減衰の十分条件は、ランダムなハールユニタリチャネルに対して一般に満たされるか？

主な発見

• 双確率的かつ自明な補正可能代数を有するY字型チャネルに対して、条件付き相互情報量は系のサイズに従って指数的に減衰する。
• 2ノルムにおける強いデータ処理不等式およびCMIの摂動に対する連続性を用いて、CMIの指数的減衰が確立される。
• 忘却的成分を有するチャネルに対しては、減衰定数に関する弱い仮定の下で、CMIの指数的減衰が証明される。
• すべてのY字型チャネルにおいて指数的CMI減衰を示す可能性を秘めた予想が提示される。
• 数値的証拠により、チャネルがハール一様ユニタリによって生成される場合、測定済みMPDOにおけるCMI減衰の十分条件が一般に満たされることが確認される。
• すべての分析事例において、トレースノルムバージョンのCMIは、標準的なCMIと同等以上の束縛を満たす。