[論文レビュー] Matrix product operator algebras I: representations of weak Hopf algebras and projected entangled pair states

András Molnár, Alberto Ruiz-de-Alarcón+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2022

Quantum-Dot Cellular Automata被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、行列積演算子（MPO）代数と弱ホップ代数の間の包括的枠組みを確立し、半単純なピカード型弱ホップ代数が引き抜き代数であることを示している。MPO表現を用いたホップ代数の構成により、キタエフの量子ダブル模型とレヴィン＝ウェンのストリングネット模型を統一的な形式で構築し、MPO対称性とドリンフェルト双対表現を通じて、それらが共有するトポロジカル構造を明らかにした。

ABSTRACT

Matrix Product Operators (MPOs) are tensor networks representing operators acting on 1D systems. They model a wide variety of situations, including communication channels with memory effects, quantum cellular automata, mixed states in 1D quantum systems, or holographic boundary models associated to 2D quantum systems. A scenario where MPOs have proven particularly useful is to represent algebras of non-trivial symmetries. Concretely, the boundary of both symmetry protected and topologically ordered phases in 2D quantum systems exhibit symmetries in the form of MPOs. In this paper, we develop a theory of MPOs as representations of algebraic structures. We establish a dictionary between algebra and MPO properties which allows to transfer results between both setups, covering the cases of pre-bialgebras, weak bialgebras, and weak Hopf algebras. We define the notion of pulling-through algebras, which abstracts the minimal requirements needed to define topologically ordered 2D tensor networks from MPO algebras. We show, as one of our main results, that any semisimple pivotal weak Hopf algebra is a pulling-trough algebra. We demonstrate the power of this framework by showing that they can be used to construct Kitaev's quantum double models for Hopf algebras solely from an MPO representation of the Hopf algebra, in the exact same way as MPO symmetries obtained from fusion categories can be used to construct Levin-Wen string-net models, and to explain all their topological features; it thus allows to describe both Kitaev and string-net models on the same formal footing.

研究の動機と目的

• 代数的構造（前bialgebra、弱bialgebra、弱ホップ代数）と行列積演算子（MPO）表現の間の体系的辞書を確立すること。
• 「引き抜き代数」としての定義と特徴付けを行い、2次元テンソルネットワークにおけるトポロジカル秩序の最小代数的構造を特定すること。
• 半単純なピカード型弱ホップ代数が引き抜き条件を満たすことを示し、トポロジカルに秩序されたモデルを構築可能とする。
• ホップ代数のMPO表現を用いて、キタエフの量子ダブル模型とレヴィン＝ウェンのストリングネット模型の記述を統一すること。
• C*-ホップ代数のドリンフェルト双対がMPOインジェクティブなPEPS上に対称性代数として作用し、任意Anyonsをその代数の既約表現として実現すること。

提案手法

• MPOとその代数的演算を視覚的に表現するための図式的テンソル計算記法を導入し、演算子の合成と対称性に関する視覚的推論を可能にする。
• 前bialgebraおよび弱bialgebraのMPO表現を定義し、余単純性と余中心的要素が、関連する行列積状態におけるインジェクティビティと非退化性に対応することを示す。
• 2次元テンソルネットワークにおけるトポロジカル秩序を定義するのに必要な代数的構造の一般化として「引き抜き代数」の概念を導入する。
• 任意の半単純なピカード型弱ホップ代数が引き抜き代数であることを証明し、トポロジカル秩序のための必要条件を確立する。
• C*-ホップ代数A*のドリンフェルト双対D(A*)を構成し、演算子Bf(p,v)とAw(p,v)を用いて、MPOインジェクティブなPEPS上のD(A*)の表現を定義する。これらの演算子はテンソルネットワーク内の欠損部に作用する。
• これらの演算子の作用が、ドリンフェルト双対の既約表現としてAnyonsを実現することを示し、Anyonsの統計は代数的交換関係に符号化されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルに秩序された2次元量子系におけるMPO対称性の背後にある代数的構造は何か？
• RQ2 『引き抜き』という概念を代数的に抽象化することで、テンソルネットワークにおけるトポロジカル秩序の最小要件を特徴づけることは可能か？
• RQ3 ハミルトニアンの知識が事前にない状態で、ホップ代数のMPO表現からキタエフの量子ダブル模型を純粋に構築できるか？
• RQ4 MPOインジェクティブなPEPSはどのようにしてAnyons励起を実現するのか？また、ドリンフェルト双対はその実現において果たす役割は何か？
• RQ5 MPO表現の形式的枠組みは、キタエフ模型とレヴィン＝ウェン模型が記述するような異なるトポロジカル相をどれほど統一的に記述できるか？

主な発見

• 半単純なピカード型弱ホップ代数が引き抜き代数であることが証明され、MPO代数から2次元トポロジカルに秩序されたテンソルネットワークを構築するための必要十分条件が得られた。
• C*-ホップ代数A*のドリンフェルト双対D(A*)は、MPOインジェクティブなPEPS上で対称性代数として作用し、ハミルトニアン項Bf(p,v)とAw(p,v)が、欠損部空間上のD(A*)の表現を形成する。
• モデルのAnyonsは、ドリンフェルト双対D(A*)の既約表現セクターとして特定され、それらの braiding および fusion ルールはMPO演算子の代数的交換関係に符号化されている。
• キタエフハミルトニアンのプラケット項Bpが、任意のプラケットを取り囲む頂点vに対してBω(p,v)に等しいことが示され、MPOに基づく構成の整合性が裏付けられた。
• 本フレームワークにより、同じホップ代数のMPO表現からキタエフの量子ダブル模型とレヴィン＝ウェンのストリングネット模型を統一的に構築でき、それらの代数的記述が統一された。
• MPO演算子が欠損部に作用する様子を明示的に計算した：Bf(p,v)は欠損テンソルをψ(f(2))で共役し、f(1)(x(1)) · f(3) ◦ S(x(3))を適用する。一方、Aw(p,v)は右乗算wにより作用し、MPO構造を保存する。