[論文レビュー] Matrix Product Operators, Matrix Product States, and ab initio Density Matrix Renormalization Group algorithms

Garnet Kin‐Lic Chan, Anna Keselman+3 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 36

ひとこと要約

本論文は、ab initio 密度行列密度行列群分離法（DMRG）手法における2つの形式的記法の間の厳密な数学的・計算的ブリッジを確立する。それは、伝統的な縮約された演算子言語と、現代の行列積演算子（MPO）／行列積状態（MPS）形式的記法との間のものである。実装上の同等性を示し、効率的なMPOベースのDMRGスイープを可能にするとともに、2つのアルゴリズム的改善——ハミルトニアンの圧縮と、演算子の和表現——を導入し、完全な計算並列性とボンド次元の低減を実現する。

ABSTRACT

Current descriptions of the ab initio DMRG algorithm use two superficially different languages: an older language of the renormalization group and renormalized operators, and a more recent language of matrix product states and matrix product operators. The same algorithm can appear dramatically different when written in the two different vocabularies. In this work, we carefully describe the translation between the two languages in several contexts. First, we describe how to efficiently implement the ab-initio DMRG sweep using a matrix product operator based code, and the equivalence to the original renormalized operator implementation. Next we describe how to implement the general matrix product operator/matrix product state algebra within a pure renormalized operator-based DMRG code. Finally, we discuss two improvements of the ab initio DMRG sweep algorithm motivated by matrix product operator language: Hamiltonian compression, and a sum over operators representation that allows for perfect computational parallelism. The connections and correspondences described here serve to link the future developments with the past, and are important in the efficient implementation of continuing advances in ab initio DMRG and related algorithms.

研究の動機と目的

• ab initio DMRGにおける伝統的な縮約演算子アプローチと、現代のMPO/MPS形式的記法の統合を図ること。
• 元の縮約演算子手法と同等性を保ちつつ、MPOベースのコードを用いたDMRGスイープの効率的実装を可能にすること。
• 一般のMPO/MPS代数が、純粋な縮約演算子に基づくDMRGフレームワーク内にどのように実装できるかを示すこと。
• MPO言語に由来する2つのアルゴリズム的改善——ハミルトニアンの圧縮と、演算子の和表現——を導入すること。
• 最適化された部分ハミルトニアン定義と冗長性の除去を通じて、計算コストとボンド次元を低減すること。

提案手法

• DMRGスイープ中に、縮約演算子とMPOの部分トレースとの間の同等性を導出する。
• MPOベースの表現を用いて、完全なMPOを明示的に構築せずに、部分的縮約を通じて期待値を計算する。
• ハミルトニアンの演算子の和表現を導入し、部分ハミルトニアンの独立的処理を可能にすることで、完全な並列計算を実現する。
• 右端の演算子が同じ項をグループ化することで、部分ハミルトニアン $\hat{H}_m$ の代替定義を提案し、冗長性を低減する。
• 異なるMPO表現におけるボンド次元 $D(k)$ を分析し、漸近的スケーリングを導出する：$\bar{D}_1 = \frac{2}{3}K^2$、$\bar{D}_4 = \frac{5}{3}K^2$、および $\bar{D}_5 = K^2$。
• 演算子 $\hat{T}_2$ と $\hat{T}_4$ の再帰関係を用い、主なボンド次元 $D(m,k) = 2(2m - k)$（$k < m$ の場合）および $D(m,k) = 1$（$k > m$ の場合）を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ab initio DMRGにおける伝統的な縮約演算子形式的記法を、MPO/MPS言語に体系的にマッピングする方法は何か？
• RQ2 ハミルトニアンを単一のMPOではなく、演算子の和として表現することの計算的・構造的影響は何か？
• RQ3 ハミルトニアンの圧縮と演算子の和表現は、DMRGアルゴリズムにおける並列性向上とボンド次元の低減に寄与するか？
• RQ4 部分ハミルトニアンの定義（$\hat{H}_m$）の選択が、有効なボンド次元と計算コストに与える影響は何か？
• RQ5 MPOベースのDMRG実装における演算子の冗長性がボンド次元に与える定量的影響は何か？

主な発見

• MPOベースのDMRGスイープは、元の縮約演算子実装と厳密に同等であり、相互に置き換え可能である。
• 演算子の和表現により、部分ハミルトニアンの独立的処理が可能となり、完全な計算並列性が実現される。
• ハミルトニアンの圧縮は実現可能であり、有益である。保存および処理が必要な項の数を削減できる。
• 標準的な $\hat{H}_m$ 定義における $a^{R\backslash}$ と $a^{R\backslash}$ 演算子の冗長な使用は、平均ボンド次元を $\bar{D}_4 = \frac{5}{3}K^2$ にまで引き上げており、これは $\bar{D}_1 = \frac{2}{3}K^2$ のベースラインよりも高い。
• 右端の演算子が同じ項をグループ化することで $\hat{H}_m$ を再定義したところ、平均ボンド次元は $\bar{D}_5 = K^2$ にまで低減され、$\bar{D}_4$ よりも顕著な改善が得られた。
• 改善された定義におけるボンド次元 $D_5(k)$ は $k$ に対して線形に減少し、$D_5(k) = O(2K^2 - 2kK)$ となる。その平均値 $\bar{D}_5 = K^2$ は、冗長性低減に基づく解析的推定と整合的である。