[論文レビュー] Matrix product state approximations for infinite systems

Norbert Schuch, Frank Verstraete|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Quantum many-body systems被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、無限スピン鎖におけるギャップのある局所ハミルトニアンの基底状態が、$ D \sim (\ell-1)/\epsilon $ の結合次元で効率的に行列積状態（MPS）によって近似可能であることを証明している。ここで $ \ell $ はスピン数、$ \epsilon $ は縮約密度行列に対するトレースノルムでの所望の精度である。手法は切断されたスレート分解とMPO平均化を用いて並進不変MPSを構築し、系サイズに依存しないコストですべての局所物理量を忠実に近似し、ギャップに依存する項は多項式的でない。

ABSTRACT

We prove that ground states of gapped local Hamiltonians on an infinite spin chain can be efficiently approximated by matrix product states with a bond dimension which scales as D~(L-1)/epsilon, where any local quantity on L consecutive spins is approximated to accuracy epsilon.

研究の動機と目的

• 無限スピン鎖におけるギャップのある局所ハミルトニアンの基底状態が、系サイズに依存しない結合次元の行列積状態（MPS）によって効率的に近似可能であることを確立すること。
• 熱力学的極限における効率的MPS近似が存在するかという長年の未解決問題を解消すること。この場合、正規直交性のためグローバルなフィデリティが定義不能になる。
• 局所縮約密度行列を精度 $ \epsilon $ で近似するには、$ D = O((\ell-1)/\epsilon) $ の結合次元で十分であり、系サイズに依存しないことの証明。
• 切断されたスレート分解と並進不変MPOを用いた、このようなMPS近似を構成的に構築する手法の開発。
• 必要な結合次元が逆精度の多項式的でない（すなわち、指数的でない）スケーリングであり、スペクトルギャップ $ \Delta $ に対して漸近的に独立であることを示すこと。

提案手法

• 正確な基底状態 $ |\Phi\rangle $ を $ k+1 $ 個の位置で切断し、結合次元 $ \chi $ の状態を得る。その後、最初の $ \chi $ 個のスレート係数を除き、残りを切り捨てることで、誤差が $ \delta $ 以下になるようにする。
• 面積法則の結果 $ \log \delta \leq \log c_1 - c_2 \Delta^{1/3} (\log \chi)^{4/3} $ を用い、切断誤差 $ \delta $ をスペクトルギャップ $ \Delta $ と局所ヒルベルト空間次元に関連付ける。
• 切断後に外側のスピンをトレースアウトすることで、$ k $ スピン上に作用する行列積演算子（MPO）を構成する。このMPOの結合次元は $ D = \chi^2 $ であり、$ k $ スピン上の縮約状態は正確な基底状態を近似する。
• MPOの無限テンソル積をとり、すべての $ k $ スピン分の並進を和算することで、無限で並進不変なMPOを構築する。これにより、結合次元 $ D = k \chi^2 $ の状態が得られる。
• $ \ell $ スピンの縮約密度行列の誤差を $ \| \rho_\ell - \sigma_\ell \|_{\mathrm{tr}} \leq 2\sqrt{2k\delta} + \frac{2(\ell-1)}{k} $ で抑え、最適化により $ k $ を最適化する。
• 最適化された $ k = 2^{1/3} (\ell-1)^{2/3} / \delta^{1/3} $ を面積法則の境界に代入し、最終的な境界 $ D(\epsilon) \leq \frac{6(\ell-1)}{\epsilon} \exp\left[ \frac{2}{c_2^{3/4} \Delta^{1/4}} \left( \log \frac{(\ell-1)\tilde{c}_1}{\epsilon^3} \right)^{3/4} \right] $ を導出。ここで $ \tilde{c}_1 = 108 c_1 $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的極限におけるギャップのある局所ハミルトニアンの基底状態を、行列積状態（MPS）が効率的に近似可能か？
• RQ2 局所物理量を $ \epsilon $ 精度で近似するのに必要な結合次元は、無限系において系サイズに依存するか？
• RQ3 すべての $ \ell $ スピンの縮約密度行列が正確な基底状態のものと $ \epsilon $ 以内に近い並進不変MPSを構築可能か？
• RQ4 必要な結合次元は、スペクトルギャップ $ \Delta $、スピン数 $ \ell $、所望の精度 $ \epsilon $ にどのように依存するか？
• RQ5 局所物理量の近似誤差は系サイズに依存せず、有限でスケーラブルな結合次元で抑えられるか？

主な発見

• 基底状態の $ \ell $ スピン縮約密度行列をトレースノルム誤差 $ \epsilon $ 以内に近似するのに必要な結合次元は、$ D(\epsilon) = O\left( \frac{\ell-1}{\epsilon} \right) $ でスケーリングされ、系サイズに依存しない。
• 境界式の指数的係数は $ \ell/\epsilon $ の任意のべきよりも遅く増加するため、$ \epsilon $ が小さい場合には有効なスケーリングは $ D \sim (\ell-1)/\epsilon $ となり、ほぼ最適に近い。
• 単一の有限結合次元MPSを用いて、無限系の極限においてもすべての局所物理量（すなわち、すべての $ \ell $ スピン縮約密度行列）を忠実に近似可能である。
• この構成は、スレート係数の面積法則境界と、並進を考慮したMPO平均化に依存している。
• 結合次元は漸近的にスペクトルギャップ $ \Delta $ に依存せず、$ \Delta^{-1/4} $ に依存する指数的要因は多項式的でなく、$ \epsilon $ が小さい場合には無視できる。
• この結果は、MPSが無限系における基底状態を効率的かつスケーラブルに表現可能であることを確認し、実際のiDMRGなどのMPSベースの手法の正当化となる。