[論文レビュー] Matrix Product State Representations

David Pérez-Garcı́a, Frank Verstraete+2 more|ArXiv.org|Aug 25, 2006

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、純粋な量子多体状態の行列積状態（MPS）表現について、境界条件が開放的・周期的で、並進不変性の有無に関わらず包括的な理論的分析を提供している。一般の局所ハミルトニアン下での基底状態の唯一性を証明し、結合次元が有界な（有限な）量子回路が古典的に効率的にシミュレート可能であることを示しており、量子優位性におけるエンタングルメントの重要な役割を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

This work gives a detailed investigation of matrix product state (MPS) representations for pure multipartite quantum states. We determine the freedom in representations with and without translation symmetry, derive respective canonical forms and provide efficient methods for obtaining them. Results on frustration free Hamiltonians and the generation of MPS are extended, and the use of the MPS-representation for classical simulations of quantum systems is discussed.

研究の動機と目的

• 有限な量子系において、並進不変性の有無に関わらず、MPS表現における自由度を完全に特徴づけること。
• 開放的および周期的境界条件の下でMPSの標準形を導出し、一意的かつ効率的な状態表現を可能にすること。
• 局所ハミルトニアンの正確な基底状態としてMPSが機能するための条件を確立すること。これには、唯一性およびエネルギーギャップの性質を含む。
• 結合次元が有界（低エンタングルメント）な量子回路が古典的に効率的にシミュレート可能であることを示し、量子高速化におけるエンタングルメントの役割を明確にすること。
• MPSに基づく変分法、親ハミルトニアン、逐次的状態準備に関する結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 移行演算子の一般化されたジョルダン分解を用いて、行列積構造とCP写像を用いて、並進不変系の標準MPS形式を導出する。
• 有限相関状態の理論を適用して、MPSを遍歴的および周期的成分に分類し、一意的分解を可能にする。
• 局所射影子を用いて任意のMPSに対する親ハミルトニアンを構成し、一般条件（C1）を満たす移行演算子のもとで基底状態の唯一性を証明する。
• 結合状態の絵と行列積構造を用いて、MPSとエンタングルメントおよび相関性質との関係を関連付ける。
• 交互最小二乗に基づく変分アルゴリズムを適用してMPS近似を最適化し、結合次元における多項式リソースで複雑性が制限されることを示す。
• 結合次元Dが多項式的にNに依存する場合、期待値および測定結果が多項式時間で計算可能であることを示し、量子回路の古典的シミュレーションを実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた量子状態を行列積状態（MPS）で表現する際の完全な自由度とは何か。また、それを標準形に簡略化する方法は何か？
• RQ2 局所ハミルトニアンの基底状態がMPSによって一意に表現可能となる条件は何か。また、 degeneracy（ degeneracy）が生じる条件は何か？
• RQ3 MPSは1次元量子系の基底状態を効率的に近似可能か。その場合、エンタングルメントのスケーリングにはどのような要件が必要か？
• RQ4 限られたエンタングルメントを有する量子回路はどの程度古典的にシミュレート可能か。結合次元Dは果たしてどのような役割を果たすか？
• RQ5 MPSを用いて多体もつれ状態を逐次的に生成するにはどのような方法があり、実験的実現可能性の条件は何か？

主な発見

• 開放的境界条件を有する任意のMPSに対して、移行演算子が一意な最大固有値を持つ限り、一意な標準形が存在する。
• 周期的境界条件を有する並進不変系では、状態は遍歴的および周期的成分の重ね合わせに一意に分解可能であり、それぞれが標準表現を有する。
• MPSから構成された親ハミルトニアンの基底状態は、移行演算子が一般条件（C1）を満たす限り、熱力学的極限をとらず有限系でも一意に定まる。
• 結合次元Dが系サイズNに対して多項式的に増加する場合、そのような状態における測定ベース量子計算は多項式時間O(poly(N))で古典的にシミュレート可能である。
• 各キュービットが高々O(log N)個の2キュービットゲートにのみ関与する量子回路は、MPSの結合次元が有界のままであれば、多項式時間O(poly(N))で古典的にシミュレート可能である。
• 交互最小二乗に基づく変分MPSアプローチは実用上効率的であるが、非凸性のため最悪計算量はNP-hardである可能性がある。