[論文レビュー] Matrix product state techniques for two-dimensional systems at finite temperature

Benedikt Bruognolo, Zhenyue Zhu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Quantum many-body systems参考文献 48被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、高温では密度行列純化、低温では最小エンタングルメント典型熱状態（METTS）アルゴリズムを用いた行列積状態（MPS）技術が、二次元量子スピン系の有限温度シミュレーションを高精度で行えることを示している。この手法は、三角格子ヘイゼンベルグ反強磁性体およびフラストレーションのある $J_1$-$J_2$ XXZモデルに対して、最先端の結果を達成し、METTSを用いて臨界温度を抽出した。また、スワップゲートを用いた Suzuki-Trotter 分解が、2D クラスタにおける虚時間発展演算において最も正確かつ効率的な手法であることが示された。

ABSTRACT

The density matrix renormalization group is one of the most powerful numerical methods for computing ground-state properties of two-dimensional (2D) quantum lattice systems. Here we show its finite-temperature extensions are also viable for 2D, using the following strategy: At high temperatures, we combine density-matrix purification and numerical linked-cluster expansions to extract static observables directly in the thermodynamic limit. At low temperatures inaccessible to purification, we use the minimally entangled typical thermal state (METTS) algorithm on cylinders. We consider the triangular Heisenberg antiferromagnet as a first application, finding excellent agreement with other state of the art methods. In addition, we present a METTS-based approach that successfully extracts critical temperatures, and apply it to a frustrated lattice model. On a technical level, we compare two different schemes for performing imaginary-time evolution of 2D clusters, finding that a Suzuki-Trotter decomposition with swap gates is currently the most accurate and efficient.

研究の動機と目的

• 量子モンテカルロ法（QMC）や級数展開などの従来手法に制限を受けることなく、行列積状態（MPS）技術を有限温度の二次元（2D）量子系に拡張すること。
• フラストレーションのある磁性体における符号問題を克服するため、符号問題に影響を受けないMPSベースの手法を用いることで、従来では到達できなかった領域にアクセスすること。
• 高温では密度行列純化、低温ではMETTSを組み合わせたハイブリッド手法を開発・ベンチマークし、全温度範囲をカバーすること。
• 特に競合相互作用を有する系において、METTSに基づく手法を用いて臨界温度を高精度で抽出すること。
• 2Dクラスタにおける虚時間発展演算スキームを比較・最適化し、MPSベースの有限温度シミュレーションにおいて最も効率的かつ正確な手法を同定すること。

提案手法

• 高温では、虚時間発展演算を用いて熱密度行列を計算するため、密度行列純化が用いられ、U(1)-スピン対称性と開放境界条件が適用されている。
• 最小エンタングルメント典型熱状態（METTS）アルゴリズムは、虚時間発展演算とモンテカルロサンプリングを組み合わせ、純化が失敗する低温領域にアクセスする。
• 2次精度のSuzuki-Trotter分解にスワップゲートを組み合わせた手法が、2Dクラスタにおける虚時間発展演算に最も正確かつ効率的であると示された。
• 有限サイズクラスタからの熱力学的極限の物理量を抽出するために、長方形クラスタのグループ化と2次順序付けを用いた数値連鎖クラスタ展開（NLCE）が適用された。
• METTSシミュレーションにおける有限長効果を最小限に抑えるために、$N_x=8$ および $N_x=16$ のシリンダーからの測定値を用いてバッキング・シリンダー補外が行われた。
• 特にバインダーキュムラントのような複雑な物理量においても相関を考慮するため、ブートストラップ再サンプリングを用いて統計誤差バーを計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MPSベースの有限温度手法は、強いフラストレーションや符号問題が存在する状況においても、2D量子スピン系に対して最先端の精度を達成できるか？
• RQ2 2D系において、高温と低温の異なる温度領域で、密度行列純化とMETTSの性能および精度はどのように比較されるか？
• RQ3 METTSベースの手法は、追加のフラストレーション相互作用を有する2Dモデルに対しても、臨界温度を信頼性高く抽出できるか？
• RQ4 MPSシミュレーションにおける2Dクラスタの虚時間発展演算の最適なスキームは何か？ そして、その選択が精度と計算コストにどのように影響するか？
• RQ5 MPS技術と組み合わせた数値連鎖クラスタ展開（NLCE）は、2D系における有限温度物理量の熱力学的極限結果をどの程度信頼できる精度で得られるか？

主な発見

• 半フィルフィルの三角格子ヘイゼンベルグ反強磁性体は、他の最先端手法と良好な一致を示し、深刻な符号問題が存在する中でもMPS手法の有効性が検証された。
• 正方格子上の $J_1$-$J_2$ XXZモデルに対しては、METTSベースの手法が高精度で臨界温度を抽出でき、利用可能なQMC結果と一致した。
• METTSアルゴリズムにより、$16\times 4$ シリンダー上で $T=0.25$ まで低温領域に到達可能である一方、$N_y=4$ シリンダーでは $T \approx 0.8$ 以下で純化法が結合次元の過剰な増大により実行不能になる。
• METTSにおける最大結合次元は $T \geq 0.25$ で $m=2000$ 未満に保たれるが、純化法では低温で $m \gg 7000$ 必要となり、計算的に非現実的になる。
• Suzuki-Trotter分解にスワップゲートを組み合わせた手法が、2Dクラスタにおける虚時間発展演算において最も正確かつ効率的であることが判明し、他の代替スキームを上回った。
• シリンダー端に局所的なピンギング場を導入することが、ドメインウォールの形成を抑制し、秩序パラメータおよび臨界温度の明確な決定に不可欠であることが示された。