[論文レビュー] Matrix Product States and Projected Entangled Pair States: Concepts, Symmetries, and Theorems

J. I. Cirac, David Pérez-Garcı́a+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Quantum many-body systems参考文献 142被引用数 61

ひとこと要約

このレビューはMatrix Product States (MPS)とProjected Entangled Pair States (PEPS)を概説し、それらのテンソルネットワーク構成、対称性、リノメル化、そしてトポロジー秩序との関係を説明します。

ABSTRACT

The theory of entanglement provides a fundamentally new language for describing interactions and correlations in many body systems. Its vocabulary consists of qubits and entangled pairs, and the syntax is provided by tensor networks. We review how matrix product states and projected entangled pair states describe many-body wavefunctions in terms of local tensors. These tensors express how the entanglement is routed, act as a novel type of non-local order parameter, and we describe how their symmetries are reflections of the global entanglement patterns in the full system. We will discuss how tensor networks enable the construction of real-space renormalization group flows and fixed points, and examine the entanglement structure of states exhibiting topological quantum order. Finally, we provide a summary of the mathematical results of matrix product states and projected entangled pair states, highlighting the fundamental theorem of matrix product vectors and its applications.

研究の動機と目的

• テンソルネットワークが、エンタングルメントの経路を符号化する局所テンソルを介して、多体波動関数をどのように記述するかを説明する。
• テンソルネットワークの対称性が、全体的なエンタングルメントパターンと物質の相をどのように反映するかを例示する。
• 実空間リノメル化群の流れ、固定点、およびそれらがギャップのある相を分類する際の役割を説明する。
• PEPSがバulk-境界対応を通じてトポロジー秩序とエッジ現象をどのように捉えるかを示す。
• 基礎定理（MPVの基礎定理など）と、それらのMPS/PEPSへの適用を要約する。

提案手法

• MPS、MPO、PEPSとそれらの無限大版を説明し、どのように基底状態と演算子をパラメータ化するか。
• 正準形、標準テンソル、およびMPVの基礎定理とPEPSへの拡張を説明する。
• PEPSフレームワークにおけるバulk-境界対応とエッジ理論について論じる。
• 相の分類のための実空間リノメネションと固定点テンソルネットワークの概要を示す。
• 対称性（グローバルおよび仮想）がTN内でSPTとトポロジカル秩序を分類する方法を要約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所テンソルの対称性が、MPS/PEPSにおける全体的な性質と物質の相をどのように決定するか？
• RQ2 親ハミルトニアンとそれらのMPS/PEPS基底状態との関係はどうなるか？
• RQ3 テンソルネットワークの対称性が、1Dおよび2DでSPT、SET、トポロジカル秩序の分類につながるのか？
• RQ4 PEPSの基礎定理の現状と範囲、および正準形への含意は何か？

主な発見

• テンソルネットワークは、単一の局所テンソルを介して、効率的でエリア則に整合した基底状態の表現を提供する。
• グローバルおよび仮想対称性は、SPTとトポロジカル秩序を符号化し、体系的な分類を可能にする。
• PEPSにおけるバulk-境界対応は、高次元のバulk特性を低次元の境界理論に結びつける。
• 基礎定理（MPVおよびPEPS）は、異なるテンソルが同じ状態を生成するときの条件を明確にし、正準形の指針となる。PEPS理論はまだ進化している。
• TNにおけるリノメネーションと固定点は、ギャップのある系の相と相転移を理解する枠組みを提供する。