[論文レビュー] Matrix Valued Orthogonal Polynomials for Gelfand Pairs of Rank One

Gert Heckman, Maarten van Pruijssen|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、表現論と分岐則を用いて、ランク1のコンpact Gelfand対に対して行列値直交多項式を構成する。これらの多項式が、カシミール作用素から導かれる可換な2階微分作用素代数の同時固有関数であることが確立され、古典的Sturm–Liouville理論が行列設定に一般化されることを示す。

ABSTRACT

In this paper we study matrix valued orthogonal polynomials of one variable associated with a compact connected Gelfand pair (G,K) of rank one, as a generalization of earlier work by Koornwinder and subsequently by Koelink, van Pruijssen and Roman for the pair (SU(2) x SU(2),SU(2)), and by Grünbaum, Pacharoni and Tirao for the pair (SU(3),U(2)). Our method is based on representation theory using an explicit determination of the relevant branching rules. Our matrix valued orthogonal polynomials have the Sturm--Liouville property of being eigenfunctions of a second order matrix valued linear differential operator coming from the Casimir operator, and in fact are eigenfunctions of a commutative algebra of matrix valued linear differential operators coming from $U(g_c)^K$.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群上の調和解析を用いて、古典的Sturm–Liouville直交多項式を行列値設定に一般化すること。
• 可換な微分作用素代数の固有関数である行列値直交多項式を構成すること。
• 特定の対（例：(SU(2)×SU(2), SU(2)) および (SU(3), U(2))）における既知の結果を、すべてのランク1 Gelfand対に対して一様な枠組みに拡張すること。
• カシミール作用素の径方向部分と分岐則を用いて、これらの多項式のスペクトル的性質を確立すること。

提案手法

• コンパクトリー群の表現論を用いて、Kの既約表現からの誘導表現を介して行列値直交多項式を定義する。
• 多重度自由系(G,K,F)の分岐則を用いて、誘導表現が多重度1で既約分解されることを保証する。
• カシミール作用素 Ω ∈ U(g_c)^K_c の径方向部分を用いて微分作用素を構成し、多項式代数 M^μ[x] 上の2階微分作用素 Ω^μ に写像する。
• 行列値多項式 P^μ_n(x) が同時に固有関数である可換な微分作用素代数 D^μ ⊂ M^μ[x, ∂_x] を導出する。
• 変数変換 x = cϕ(t) + (1−c) を適用して、最大トーラス T 上の固有関数 Ψ^μ_n(t) を [−1,1] 上の直交多項式に変換する。
• 双スペクトル性と T_reg 上での Ψ^μ_0 の可逆性を用いて、変換された微分作用素が正則係数を持ち、内積構造を保存することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現論を用いて、すべてのコンパクトGelfand対（ランク1）に対して、Sturm–Liouville性質を持つ行列値直交多項式を体系的に構成できるか？
• RQ2 これらの多項式は、カシミール作用素から導かれる可換な微分作用素代数の固有関数として生じるか？
• RQ3 多重度自由系(G,K,F)の分岐則は、得られる行列値直交多項式のスペクトル的性質と構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 カシミール作用素の径方向部分を明示的に計算し、それが行列設定において対称的で実固有値を持つ微分作用素を導くことを示せるか？
• RQ5 次数関数とμ-井戸の構造は、高ランク設定において幾何的または凸性を用いてどのように理解できるか？

主な発見

• 行列値直交多項式 P^μ_n(x) は、可換な2階微分作用素代数 D^μ の同時固有関数として構成される。
• カシミール作用素の径方向部分から導かれる微分作用素 Ω^μ は、行列値内積 ⟨⋅,⋅⟩_W^μ に関して対称的であり、実固有値を持つ。
• 最大トーラス T 上の関数族 {Ψ^μ_n} は双スペクトル性を満たし、変数変換により [−1,1] 上の正則微分作用素を構成できる。
• μ-井戸の底は基本的球面表現に関して良好に振る舞い、直交化に必要な性質を持つ次数関数が保証される。
• 関数 Ψ^μ_0 は T_reg 上で点ごとに可逆であり、これにより M^μ[x] 上の変換された微分作用素が正則係数を持つことが保証される。
• 本構成は、(SU(2)×SU(2), SU(2)) や (SU(3), U(2)) といった既知の例を、(G_2, SU(3))、(Spin(7), G_2)、(USp(2n), USp(2n−2)×USp(2))、および (F_4, Spin(9)) を含むすべてのランク1 Gelfand対に一般化する。