[論文レビュー] Matrix-valued truncated Toeplitz operators: unbounded symbols, kernels and equivalence after extension

Ryan O’Loughlin|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Dec 1, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、技術的課題を回避するために被域を変更することで、有界でない記号をもつ行列値切断トーペリッツ作用素（MTTO）に対する新しいアプローチを導入する。この作用素の核が $S^*$-不変部分空間と等長同型であることを確立し、拡張後に等価なトーペリッツ作用素を構成する。さらに、ユニタリ同値性を用いて、多次元切断ウィナー＝ホプフ作用素への一般化を達成する。

ABSTRACT

This paper studies matrix-valued truncated Toeplitz operators, which are a vectorial generalisation of truncated Toeplitz operators. It is demonstrated that, although there exist matrix-valued truncated Toeplitz operators without a matrix symbol in $L^p$ for any $p \in (2, \infty ]$, there is a wide class of matrix-valued truncated Toeplitz operators which possess a matrix symbol in $L^p$ for some $p \in (2, \infty ]$. In the case when the matrix-valued truncated Toeplitz operator has a symbol in $L^p$ for some $p \in (2, \infty ]$, an approach is developed which bypasses some of the technical difficulties which arise when dealing with problems concerning matrix-valued truncated Toeplitz operators with unbounded symbols. Using this new approach, two new notable results are obtained. The kernel of the matrix-valued truncated Toeplitz operator is expressed as an isometric image of an $S^*$-invariant subspace. Also, a Toeplitz operator is constructed which is equivalent after extension to the matrix-valued truncated Toeplitz operator. In a different yet overlapping vein, it is also shown that multidimensional analogues of the truncated Wiener-Hopf operators are unitarily equivalent to certain matrix-valued truncated Toeplitz operators.

研究の動機と目的

• 行列値切断トーペリッツ作用素（MTTO）に有界でない記号をもつ場合の解析における技術的課題に対処すること。
• MTTO理論における有界でない記号に起因する制限を回避する新しい手法を開発すること。
• 記号の成分が $L^p$-関数（$p \in (2, \infty]$）であるMTTOの核を、$S^*$-不変部分空間の等長像として特徴づけること。
• 与えられたMTTOに対して、拡張後に等価なトーペリッツ作用素を構成すること。
• 多次元切断ウィナー＝ホプフ作用素と特定のMTTOとの間のユニタリ同値性を確立すること。

提案手法

• MTTOをより取り扱いやすい形に変換するための被域変更技術を導入する。
• ベアリング＝ラクスの定理とハーディー空間における直交分解を用いて、モデル空間 $K_\Theta$ を $S^*$-不変部分空間として特徴づける。
• MTTOを $f \in K_\Theta \cap (H^\infty)^n$ に対して $A_G^\Theta(f) = P_\Theta(Gf)$ として定義する。ここで $G$ は行列記号である。
• 記号 $G \in L^{(p,n\times n)}$ で $p \in (2, \infty]$ のとき、変更された作用素が $S^*$-不変部分空間の等長像による核の特徴づけを可能にすることを確立する。
• ユニタリ同値性と拡張技術を用いて、MTTOのスペクトル挙動と一致する新たなトーペリッツ作用素を構成する。
• フーリエ変換およびカイリー変換を適用し、単位円上のMTTOと実直線上の切断ウィナー＝ホプフ作用素との関係を確立し、$n\times n$ の場合にユニタリ同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界でない記号をもつ行列値切断トーペリッツ作用素の核は、$S^*$-不変部分空間の観点から特徴づけられるか？
• RQ2 記号が $L^\infty$ に属さない場合でも、拡張後に標準的トーペリッツ作用素と等価にできるか？
• RQ3 多次元切断ウィナー＝ホプフ作用素と行列値切断トーペリッツ作用素との間の関係は何か？
• RQ4 MTTOの被域を変更することで、有界でない記号をもつ作用素の解析がどのように可能になるか？
• RQ5 どのような条件下で、切断ウィナー＝ホプフ作用素がMTTOとユニタリ同値となるか？

主な発見

• 記号 $G \in L^{(p,n\times n)}$ で $p \in (2, \infty]$ のとき、MTTOの核は $S^*$-不変部分空間と等長同型である。
• 拡張後にMTTOと等価な新たなトーペリッツ作用素が構成され、スペクトル的リンクが得られる。
• 多次元切断ウィナー＝ホプフ作用素は、フーリエ変換およびカイリー変換を含むユニタリ変換を介して、特定のMTTOとユニタリ同値である。
• このアプローチにより、$L^p$-記号設定への還元によって、有界でない記号をもつMTTOの解析が可能になる。
• 結果はスカラーの場合にも一般化され、古典的切断トーペリッツ作用素に対しても新たな知見をもたらす。
• 切断ウィナー＝ホプフ作用素とMTTOとの同値性は $n\times n$ 行列の場合へ拡張され、MIMOシステムや積分方程式への応用が可能となる。