[論文レビュー] Matroid polytopes, nested sets and Bergman fans

Eva María Feichtner, Bernd Sturmfels|ArXiv.org|Nov 11, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 97

ひとこと要約

本稿は、マトロイドのベルグマンファンとネスト集合複体の間の幾何的関係を確立し、ネスト集合複体がベルグマン複体のユニモジュラー三角形分割を提供することを示している。主な結果は、これらの二つの複体が一致するための必要十分条件が、任意の部分フラットに沿った縮約を行った後でもすべての連結フラットが連結のままであることであると示され、これにより、トロピカル線形空間の三角形分割に関する先行研究が精緻化される。

ABSTRACT

The tropical variety defined by linear equations with constant coefficients is the Bergman fan of the corresponding matroid. Building on a self-contained introduction to matroid polytopes, we present a geometric construction of the Bergman fan, and we discuss its relationship with the simplicial complex of nested sets in the lattice of flats. The Bergman complex is triangulated by the nested set complex, and the two complexes coincide if and only if every connected flat remains connected after contracting along any subflat. This sharpens a result of Ardila-Klivans who showed that the Bergman complex is triangulated by the order complex of the lattice of flats. The nested sets specify the De Concini-Procesi compactification of the complement of a hyperplane arrangement, while the Bergman fan specifies the tropical compactification. These two compactifications are almost equal, and we highlight the subtle differences.

研究の動機と目的

• マトロイド理論におけるベルグマンファンとネスト集合複体の関係を明確化すること。
• マトロイドポリトープとネスト集合を用いたベルグマンファンの幾何的構成を提供すること。
• マトロイド論的条件を用いて、ベルグマン複体とネスト集合複体が一致する条件を同定すること。
• デ・コンチーニ＝プロセッティのウェンダーフルコンパクト化とトロピカルコンパクト化との間に、自然な準同型を介して関係を確立すること。
• 与えられたマトロイドに対してベルグマン複体およびそのネスト集合三角形分割を計算するためのアルゴリズム的ツールを開発すること。

提案手法

• 回路が最小値到達条件を満たすことで定義される、マトロイドポリトープの正規ファンの部分ファンとしてベルグマンファンを構成する。
• ラティスにおけるネスト集合の概念を用いて、マトロイドのフラットのラティスの三角形分割としてネスト集合複体を導入する。
• 単体のミンコフスキー和を用いてベルグマン複体の局所モデルを構築し、それらを最小ネスト集合複体と関連付ける。
• トロイカ多様体の理論を応用し、ウェンダーフルコンパクト化がトロピカルコンパクト化上への射影的準同型として現れることを示す。
• 超平面配置の補集合の線形イデアルの初期イデアルを用いて、ベルグマンファンによるトロピカルコンパクト化の特徴づけを行う。
• ベルグマンファンがネスト集合複体のユニモジュラー三角形分割であり、すべての連結フラットが任意の部分フラットに沿った縮約後も連結のままであるときかつそのときに限り、ベルグマン複体とネスト集合複体が一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトロイドのネスト集合複体がそのベルグマン複体と一致する条件は何か？
• RQ2 ネスト集合複体はベルグマンファンをどのように三角形分割するのか？また、この三角形分割におけるユニモジュラリティの役割は何か？
• RQ3 超平面配置の補集合のデ・コンチーニ＝プロセッティのウェンダーフルコンパクト化とトロピカルコンパクト化との間の幾何的関係は何か？
• RQ4 与えられたマトロイドに対してベルグマンファンおよびそのネスト集合三角形分割をどのようにアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ5 最小ネスト集合複体がベルグマン複体と等しくなるための正確な組合せ的条件は何か？

主な発見

• マトロイドのフラットのラティスのネスト集合複体は、ベルグマン複体のユニモジュラー三角形分割を提供する。
• ベルグマン複体とネスト集合複体が一致するための必要十分条件は、任意の部分フラットに沿った縮約後でもすべての連結フラットが連結のままであることである。
• 連結フラットによってインデックスづけられる最小ネスト集合複体は、最小のネスト集合複体であり、一般にベルグマン複体に非常に近い。
• 超平面配置の補集合のデ・コンチーニ＝プロセッティのウェンダーフルコンパクト化は、マトロイドポリトープのミンコフスキー和分解に由来する自然な準同型を介して、トロピカルコンパクト化上に射影的に写される。
• ベルグマンファンは、各回路において w_i の最小値が少なくとも2回以上到達されるような R^n のベクトルの集合として特徴づけられ、この定義は平行移動およびスケーリングに関して不変である。
• 球面ベルグマン複体 B(M) は球面多面体の複体であり、そのネスト集合複体による三角形分割は、フラットのラティスの順序複体の三角形分割を refining する。