[論文レビュー] Matter From G(2) Manifolds

Per Berglund, Andreas Brandhuber|CERN Bulletin|May 18, 2002

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$G_2$多様体におけるcodimension seven特異点を介して、チャーミカルな物質を構成し、M理論の$G_2$-holonomy空間への compactification において、$SU(N)$および$SO(2N)$ゲージ群が生じることを示している。タイプIIA双対において超ケーラー商特異点を展開し、オルオリエンターフラットを含めることで、$SU(5)$のグランドユニフィケーションに不可欠な、反対称および三重ファンクターメンタル表現といった特異表現を実現し、特定のケースでは明示的な計量が得られている。

ABSTRACT

We describe how chiral matter charged under SU(N) and SO(2N) gauge groups arises from codimension seven singularities in compactifications of M-theory on manifolds with G(2) holonomy. The geometry of these spaces is that of a cone over a six-dimensional Einstein space which can be constructed by (multiple) unfolding of hyper-Kahler quotient spaces. In type IIA the corresponding picture is given by stacks of intersecting D6-branes and chiral matter arises from open strings stretching between them. Usually one obtains (bi)fundamental representations but by including orientifold six-planes in the type IIA picture we find more exotic representations like the anti-symmetric, which is important for the study of SU(5) grand unification, and trifundamental representations. We also exhibit many cases where the G(2) metrics can be described explicitly, although in general the metrics on the spaces constructed via unfolding are not known.

研究の動機と目的

• M理論の$G_2$多様体への compactification におけるチャーミカル物質の構成を、基本表現を超えて拡張すること。
• 現実的なグランドユニフィケーション理論に不可欠な、反対称および三重ファンクターメンタル表現のような特異なゲージ群表現を実現すること。
• 交差するD6-braneと$\mathcal{O}6$平面を用いたタイプIIA双対記述を提供し、幾何学的および位相的解析を可能にすること。
• 特に$D_n$および$E_n$型に対して、超ケーラー商特異点の展開を用いた明示的$G_2$計量の構成。
• オルオリエンターを介して$\mathbb{Z}_2$商を含めたM理論/タイプIIA双対性の一般化により、非基本表現の物質を実現すること。

提案手法

• 超ケーラー（HK）8次元多様体を、$A_1$型特異点の複数回の展開により得た後、$U(1)$商をとることで$G_2$多様体を構成する。
• $D_n$および$E_n$特異点の変形空間を、被覆空間上の$\mathbb{Z}_2$および高次群作用を用いて$G_2$-holonomy計量に写像する。
• twistor構成を用いて、二重展開された$G_2$多様体をtwistor空間上の錐に写像し、明示的な計量計算を可能にする。
• タイプIIAの図式において$\mathcal{O}6$平面を導入し、$\mathbb{Z}_2$対称性を破り、$SU(N)$ゲージ理論における反対称表現を生成する。
• $E_6$および$E_7$特異点を、$A_3$型変形の$\mathbb{Z}_2$および$\mathbb{Z}_3$商を介して、三重ファンクターメンタル物質を実現する。
• タイプIIAのD6-braneと$\mathcal{O}6$平面の配置を、ファイバーごとの双対性によりM理論の$G_2$多様体上への上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M理論の$G_2$-holonomy多様体への compactification において、$SU(N)$の反対称表現におけるチャーミカル物質は、どのようにして生じるか？
• RQ2 $G_2$多様体におけるcodimension seven特異点に対応するタイプIIA D-brane/オルオリエンター配置は何か？
• RQ3 $D_n$および$E_n$特異点に対して、超ケーラー商の展開を用いて明示的な$G_2$計量を構成できるか？
• RQ4 $\mathcal{O}6$平面から生じる$\mathbb{Z}_2$商を介した$G_2$多様体の$\mathbb{Z}_2$商は、非基本表現の物質表現をどのように生成するか？
• RQ5 $SU(3)\times SU(3)\times SU(2)$および$SU(4)\times SU(3)\times SU(2)$ゲージ理論における三重ファンクターメンタル物質の幾何的起源は何か？

主な発見

• M理論の$G_2$多様体への compactification において、codimension seven特異点を伴う$SU(N)$の反対称表現におけるチャーミカル物質が実現され、タイプIIA双対において$\mathcal{O}6$平面によって実現される。
• 三重ファンクターメンタル物質は、$E_6$および$E_7$特異点を、$A_3$型変形の展開を介して、$SU(3)\times SU(3)\times SU(2)$および$SU(4)\times SU(3)\times SU(2)$ゲージ理論に実現する。
• $D_n$特異点において、変形空間の$t \to 0$極限で$A_{n-1}^2 \to A_{2n-1}$および$D_0 \times A_{n-1} \to D_n$が明確に定義され、$D_0$は$D_1$の$\mathbb{Z}_2$商として生じる。
• 二重展開された$D_n$特異点の$G_2$計量は、twistor空間構成への写像により明示的に計算可能であり、具体的な幾何的実現が得られる。
• $E_6$特異点の$U$-不変$A_3$変形は$E_6 \to A_2^2 \times A_1$に、$t \neq 0$において$E_7 \to D_3 \times A_2 \times A_1$に至り、期待されるゲージ対称性の破れを確認する。
• M理論の背景における$\mathcal{O}6$平面は、複数回の展開により構成された$G_2$多様体の$\mathbb{Z}_2$商に対応し、非基本表現におけるチャーミカル物質を可能にする。