[論文レビュー] Matter seen at many scales and the geometry of averaging in relativistic cosmology

Thomas Buchert, Mauro Carfora|ArXiv.org|Jan 17, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リッチ・フローを介して空間計量を変形するラグランジュスケーリング手順を導入することにより、非一様な宇宙論的物質場の平均化のためのきめ細やかな幾何学的枠組みを提案する。このフローがスケール依存の平均化を自然に捉えることができ、曲率の非一様性がフローに沿って減少することを示しており、一般相対性理論的宇宙論におけるヒューリスティックな平均化手法に対する数学的に根拠のある代替手法を提供する。

ABSTRACT

We investigate the scale-dependence of Eulerian volume averages of scalar functions on Riemannian three-manifolds. We propose a complementary view of a Lagrangian scaling of variables as opposed to their Eulerian averaging on spatial domains. This program explains rigorously the origin of the Ricci deformation flow for the metric, a flow which, on heuristic grounds, has been already suggested as a possible candidate for averaging the initial data set for cosmological spacetimes.

研究の動機と目的

• 非一様な宇宙論における物質場および計量場のスケール依存平均化のきめ細やかな幾何学的基盤を確立すること。
• 空間的平均化のスケールに依存する宇宙論的観測量（例えば、平均密度や曲率）の依存関係を解明すること。
• 宇宙論的平均化におけるリッチ・フローのヒューリスティックな使用を、数学的に正当化され、物理的に動機付けられた枠組みに置き換えること。
• 質量を保存するがスケールに従って変化する幾何学的フローを構築し、宇宙における非一様性の有効な力学をモデル化すること。
• 平均化プロセスを、リッチ・フローを自然な幾何学的進化機構として用いることで、レノルマリゼーション群的スケーリングと結びつけること。

提案手法

• リーマン多様体 (Σ,g) 上の測地球を用いた、スカラー場（例えば質量密度）のオイラー的体積平均を、半径 r が変化する範囲で定義する。
• 測地的半径を固定し、1パrameter族の計量 g(β) を用いて計量および物質場を変形することで、ラグランジュ的スケーリングの図式を導入する。
• β におけるエネルギー密度場 e(β;x) の進化を導出し、それがリッチ曲率および埋め込み写像の2階微分に依存することを示す。
• 計量の進化が単純化される条件を同定する：∂g_ij/∂β = -2R_ij であり、これはリッチ・フローに相当する。
• このフローの下で、エネルギー密度場 e(β;x) の最大値が弱く減少することを示し、非一様性の平滑化を示す。
• 体積を保存する正規化リッチ・フロー（体積保存）は、β→∞ の極限で一定曲率の計量に収束することを示し、均一状態への収束を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的枠組みにおいて、宇宙論的物質場および計量場のスケール依存平均化をどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 物理的に整合的で能動的（ラグランジュ的）な空間計量および物質分布のスケーリングに対応する幾何学的フローは何か？
• RQ3 なぜリッチ・フローが、宇宙論的初期データセットにおける非一様性の平滑化の自然な候補として現れるのか？
• RQ4 リッチ・フローを、平均化中に全物質含量を保存するように適合させることは可能か？物理的整合性を保証するか？
• RQ5 平均化プロセスと、相対論的宇宙論におけるレノルマリゼーション群的スケーリングとの関係は何か？

主な発見

• 物質および幾何学のラグランジュ的スケーリングは、リッチ・フロー ∂g_ij/∂β = -2R_ij に従う1パrameter族の計量変形に対応する。
• このフローの下で、エネルギー密度場 e(β;x) は最大値が弱く減少するように進化し、曲率の非一様性が減少することを示唆する。
• リッチ・フロー下で、e(β;x) の進化方程式は ∂e/∂β = Δ_β e - 2|∇²F|² に簡略化され、平滑化効果が確認される。
• 正規化リッチ・フロー（体積保存）は、極限 β→∞ で一定曲率の計量に収束し、均一的・等方的状態への収束を示唆する。
• リッチ・フローは、宇宙論におけるヒューリスティックな平均化手順に対する数学的に厳密で物理的に動機付けられた代替手法を提供する。
• この枠組みは、宇宙論的平均化とレノルマリゼーション群的スケーリングとの直接的な関係を確立し、リッチ・フローが粗粒度化の幾何的実現として機能することを示している。