[論文レビュー] Maurer-Cartan elements and homotopical perturbation theory

Ezra Getzler|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、曲がった $L_\infty$-代数 $L$ のMaurer–Cartan (MC) 要素でホモトピー条件 $hx = 0$ を満たすものと、部分複体 $M$ のMC要素との間の自然な全単射を確立する。Fukayaのホモトピー的摂動理論に基づき、写像 $g: L \to M$ がKuranishi集合 $\operatorname{MC}(L,h)$ と $\operatorname{MC}(M)$ の間に標準的な全単射を誘導することを、収縮写像の原理と条件 $h^2 = hf = gh = 0$ を用いて証明する。これにより、曲がった $L_\infty$-代数への古典的ホモロジー的摂動枠組みの拡張が達成される。

ABSTRACT

Let L be a (pro-nilpotent) curved L-infinity algebra, and let h be a homotopy between L and a subcomplex M. Using homotopical perturbation theory, Fukaya constructed from this data a curved L-infinity structure on M. We prove that projection from L to M induces a bijection between the set of Maurer-Cartan elements x of L such that hx=0 and the set of Maurer-Cartan elements of M.

研究の動機と目的

• 曲がった $L_\infty$-代数へのホモトピー的摂動理論を拡張すること。ここで微分は $\delta^2 x = [R,x]$ を満たし、曲がり項 $R \in F_1\mathfrak{G}^2$ を持つ。
• 元の曲がった $L_\infty$-代数 $L$ のMaurer–Cartan要素と摂動された部分複体 $M$ のそれとの間の明確な対応関係を、条件 $hx = 0$ の下で確立すること。
• 写像 $g: L \to M$ がKuranishi集合 $\operatorname{MC}(L,h) = \{x \in \operatorname{MC}(L) \mid hx = 0\}$ と $\operatorname{MC}(M)$ の間に全単射を誘導することを自己完結的に証明すること。

提案手法

• ホモトピー的摂動の文脈を形式化する：フィルトレーション付きコホコロジー複体 $(V^\bullet, \delta)$ と $(W^\bullet, d)$ のペア、およびチェイン写像 $f: W \to V$、$g: V \to W$、ホモトピー $h: V \to V[-1]$ を満たし、$1_V = fg + \delta h + h\delta$ かつ $h^2 = hf = gh = 0$ を満たす。
• Fukayaの構成を用いて、$L$ から $M$ への曲がった $L_\infty$-構造を運ぶ。$L_\infty$-準同型の空間における固定点方程式 $F = f - h\lambda \bullet F$ を用いる。
• 曲がった $L_\infty$-構造 $\lambda$ のプロ-nilpotence を利用して、$L_\infty$-準同型の空間における収縮写像の原理を適用し、摂動級数の収束を保証する。
• Kuranishi集合 $\operatorname{MC}(L,h)$ を $\operatorname{MC}(L)$ の部分集合として、$h$ によって消える要素の集合として定義し、$g$ が $\operatorname{MC}(M)$ への制限として全単射となることを示す。
• Fukayaが構成した $L_\infty$-準同型 $F: M \to L$ が $gF = 1_M$ を満たし、$x \in \operatorname{MC}(L,h)$ に対して $F(gx) = x$ となることを、$L^0$ 上での $-h\lambda(\cdot)$ の収縮性を用いて示す。
• 平均値定理と部分導関数におけるフィルトレーション次数の増加を用いて、写像 $x \mapsto F(gx)$ が $\operatorname{MC}(L,h)$ 上で恒等写像であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像 $g: L \to M$ は、$hx = 0$ を満たす $L$ のMaurer–Cartan要素の集合と $M$ のそれとの間に全単射を誘導するか？
• RQ2 Fukayaの曲がった $L_\infty$-代数に対するホモトピー的摂動構成は、ホモトピー条件 $hx = 0$ の下でMaurer–Cartan条件を保存するか？
• RQ3 Fukayaが構成した $L_\infty$-準同型 $F: M \to L$ は、Kuranishi集合 $\operatorname{MC}(L,h)$ 上で可逆であり、その逆写像が $g$ で与えられるか？
• RQ4 曲がった $L_\infty$-構造 $\lambda$ のプロ-nilpotence は、$F$ および $\mu$ の摂動級数の収束をどのように保証するか？
• RQ5 条件 $h^2 = hf = gh = 0$ は、$x \in \operatorname{MC}(L,h)$ に対して $F(gx) = x$ が成り立つために果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 写像 $g: L \to M$ は、Kuranishi集合 $\operatorname{MC}(L,h) = \{x \in \operatorname{MC}(L) \mid hx = 0\}$ と部分複体 $M$ のMaurer–Cartan要素の集合 $\operatorname{MC}(M)$ の間に標準的な全単射を誘導する。
• $F: M \to L$ をFukayaが構成した $L_\infty$-準同型は $gF = 1_M$ を満たし、$g$ との合成が $\operatorname{MC}(L,h)$ 上で恒等写像となる。これにより、$g$ がこの集合上で $F$ の逆写像であることが確認される。
• 写像 $y \mapsto -h\lambda(y)$ は、その部分導関数がフィルトレーション次数を増加させるため、$L^0$ 上で収縮写像である。これにより、$F$ の固定点反復と恒等式 $F(gx) = x$ の収束が保証される。
• 曲がった $L_\infty$-代数 $L$ の曲がり項 $R$ は $F_1 L^2$ に属し、$x \in F_1 L^1$ の厳密に正のフィルトレーション次数のおかげで、Maurer–Cartan方程式 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} [x,\dots,x]_n = 0$ は適切に定義される。
• 障害項 $\alpha = \delta \bullet F + \lambda \bullet F - F \circ \delta - F \circ \mu$ と $\beta = \delta \mu + \mu \circ \mu$ の消滅は、系 $\alpha = -h(\lambda \circ_F \alpha)$、$\beta = -g(\lambda \circ_F \alpha)$ を用いて示され、収縮写像の原理により唯一の自明解を持つ。
• 構成は $L_\infty$-準同型構造と完全に整合する：$\phi: K \to L$ および $\psi: L \to M$ が $L_\infty$-準同型であれば、その合成 $\psi \bullet \phi$ も $L_\infty$-準同型となり、$\operatorname{MC}$ 関手の関手的性が保証される。