[論文レビュー] Max-relaxation iteration procedure for building of Barabanov norms: convergence and examples

Victor Kozyakin|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2010

Matrix Theory and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可約行列集合のバラバノフノルムを数値的に構成し、その連合スペクトル半径を収束保証と事後誤差境界を伴って計算するための最大緩和反復手順を提案する。この手法は極座標における行列作用を用いて反復的にノルム推定値を改善し、バラバノフノルムへの収束を保証するとともに、連合スペクトル半径の計算可能な境界を提供する。

ABSTRACT

The problem of construction of Barabanov norms for analysis of properties of the joint (generalized) spectral radius of matrix sets has been discussed in a number of publications. In previous papers of the author the method of Barabanov norms was the key instrument in disproving the Lagarias-Wang Finiteness Conjecture. The related constructions were essentially based on the study of the geometrical properties of the unit balls of some specific Barabanov norms. In this context the situation when one fails to find among current publications any detailed analysis of the geometrical properties of the unit balls of Barabanov norms looks a bit paradoxical. Partially this is explained by the fact that Barabanov norms are defined nonconstructively, by an implicit procedure. So, even in simplest cases it is very difficult to visualize the shape of their unit balls. The present work may be treated as the first step to make up this deficiency. In the paper an iteration procedure is considered that allows to build numerically Barabanov norms for the irreducible matrix sets and simultaneously to compute the joint spectral radius of these sets.

研究の動機と目的

• 定義が暗黙的かつ非構成的であるため、バラバノフノルムの可視化および計算のための構成的技法の欠如に対処すること。
• 非可約行列集合に対してバラバノフノルムを構築し、同時に連合スペクトル半径を計算する数値的アルゴリズムを開発すること。
• 反復的手順を用いた連合スペクトル半径の近似に対して、事後誤差境界を提供すること。
• 直接反復スキームの非一意性および収束不良の問題を緩和するためのリラクゼーション機構を導入すること。
• 数値的計算を通じてバラバノフノルム単位球の幾何的解析の基盤を築くこと。

提案手法

• アルゴリズムは最大緩和反復を用いる：各ステップでノルムは $ \|x\|_{n+1} = \gamma_n^{-1} \max_i \|A_i x\|_n $ で更新され、ここで $ \gamma_n $ は正規化係数である。
• ノルムは角度 $ \phi \in [0, 2\pi) $ の離散グリッド上で表現され、行列作用は角度および半径の変換にマッピングされる。
• 各方向 $ \phi $ に対して、$ A_i $ による像が計算され、離散的反復が可能になるように最も近いグリッド点にマッピングされる。
• 局所的凸性を各ステップで強制することで、数値的オシレートを抑制し、安定性を向上させる。
• 連合スペクトル半径は $ \rho_n^\pm = \min(R_n / R) $ および $ \max(R_n / R) $ を用いて推定され、真の値の境界を提供する。
• 正規化により単位球が有界に保たれ、反復がバラバノフノルムに収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約行列集合のバラバノフノルムを収束保証付きで計算する数値的アルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 反復プロセスから連合スペクトル半径の事後誤差境界をどのように導出できるか？
• RQ3 直接反復スキームはなぜ収束しないのか？リラクゼーションは安定性を向上させ得るか？
• RQ4 反復列の真の連合スペクトル半径への収束速度はどの程度か？
• RQ5 バラバノフノルム単位球の幾何的性質は、反復的構成からどのように生じるか？

主な発見

• 最大緩和アルゴリズムは、任意の非可約行列集合に対してバラバノフノルムに収束し、それ以外に暗黙的対象を構成的に扱う手法を提供する。
• アルゴリズムは計算可能な事後境界 $ \rho_n^- \leq \rho(\mathscr{A}) \leq \rho_n^+ $ を得る。区間幅は反復が進むにつれて減少する。
• 数値実験では、アルゴリズムが安定化し、非自明なケースですら視覚的に整合性のあるバラバノフノルム単位球を生成することが示された。
• 本手法は任意のサイズおよび行列数の行列集合を扱える。行列次元や行列集合の濃度に制限はない。
• リラクゼーションステップは不可欠である：リラクゼーションなしの直接反復では収束が失敗する可能性があり、正規化および凸性強制の重要性が浮き彫りになる。
• アルゴリズムの計算コストはグリッド点数、行列サイズ $ m $、および平均化関数 $ \gamma(t,s) $ の選択に依存するが、明示的なコスト推定は得られていない。