[論文レビュー] Max-size popular matchings and extensions

Telikepalli Kavitha|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、単調な好みを持つ非二部グラフのルームメイトインスタンスにおいて、最大サイズのパピュラー・マッチングを計算することはNP困難であることを確立している。これは、二部グラフでは多項式時間で解けるのと対照的である。本稿では、特定のブロッキングおよび負の辺の制約を持つ頂点分割に基づく強支配マッチングを定義し、その計算に線形時間アルゴリズムを提示する。これにより、非二部グラフ設定における最大サイズパピュラー・マッチングの取り扱いやすいクラスが得られる。

ABSTRACT

We consider the max-size popular matching problem in a roommates instance G = (V,E) with strict preference lists. A matching M is popular if there is no matching M' in G such that the vertices that prefer M' to M outnumber those that prefer M to M'. We show it is NP-hard to compute a max-size popular matching in G. This is in contrast to the tractability of this problem in bipartite graphs where a max-size popular matching can be computed in linear time. We define a subclass of max-size popular matchings called strongly dominant matchings and show a linear time algorithm to solve the strongly dominant matching problem in a roommates instance. We consider a generalization of the max-size popular matching problem in bipartite graphs: this is the max-weight popular matching problem where there is also an edge weight function w and we seek a popular matching of largest weight. We show this is an NP-hard problem and this is so even when w(e) is either 1 or 2 for every edge e. We also show an algorithm with running time O*(2^{n/4}) to find a max-weight popular matching matching in G = (A U B,E)$ on n vertices.

研究の動機と目的

• 単調な好みリストを備えたルームメイトインスタンスにおける最大サイズパピュラー・マッチングを求める計算の複雑性を特定すること。
• 非二部グラフにおけるパピュラー・マッチングの取り扱いやすいクラスを同定し、効率的な計算を可能にすること。
• 安定マッチングが常に存在する二部グラフにおける研究を、安定性が失敗する可能性がある非二部設定へと拡張すること。
• 辺の重みが小さい整数に制限された場合の二部グラフにおける最大重みパピュラー・マッチング問題の複雑性を調査すること。

提案手法

• 頂点分割 (L, R) が以下の4つの構造的制約を満たすことで、ルームメイトインスタンスにおける強支配マッチングの概念を導入する：M ⊆ L×R、M が R のすべての頂点をマッチングする、すべてのブロッキング辺が R×R に属する、および L×L のすべての辺が M に対して負である。
• 強支配マッチングが、L×R で誘導される部分二部グラフにおける R-完全な安定マッチングであることを証明し、これにより二部グラフ安定マッチングアルゴリズムを用いて効率的に計算可能であることを示す。
• 好み順序と辺の種別を用いて、反復的に分割 (L, R) を構築し、制約を検証することで、強支配マッチングを計算する線形時間アルゴリズムを開発する。
• 二部グラフにおける最大重みパピュラー・マッチング問題を、重み付き版のパピュラー・マッチング問題に還元し、辺の重みが {1, 2} に制限されてもNP困難であることを示す。
• 部分集合の上での動的計画法を用いて、n 頂点をもつ二部グラフにおける最大重みパピュラー・マッチングを求めるアルゴリズムを提示し、時間計算量は O*(2^{n/4}) である。
• 潜在関数と配列ベースのコスト解析（T_a および T_b 配列を用いて）を用い、すべての時刻 t ∈ [0, 1) において双対変数 α^t_u がコスト制約を満たすことを確認し、最適性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調な好みリストを備えたルームメイトインスタンスにおける最大サイズパピュラー・マッチングを計算する問題はNP困難か？
• RQ2 非二部グラフにおける最大サイズパピュラー・マッチングの取り扱いやすいクラスを同定でき、多項式時間での計算が可能か？
• RQ3 辺の重みが {1, 2} に制限された場合の二部グラフにおける最大重みパピュラー・マッチング問題の複雑度は？
• RQ4 ルームメイトインスタンスにおける強支配マッチングを計算する線形時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ5 強支配マッチングの構造を活用して、非二部設定におけるより広いクラスのパピュラー・マッチングに対する効率的アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 単調な好みリストを備えたルームメイトインスタンスにおける最大サイズパピュラー・マッチング問題は、安定マッチングを許容するインスタンスでさえもNP困難である。
• ルームメイトインスタンスにおける強支配マッチングは線形時間で計算可能であり、最大サイズパピュラー・マッチングの取り扱いやすいクラスを提供する。
• 辺の重みが {1, 2} に制限された二部グラフにおける最大重みパピュラー・マッチング問題は、NP困難である。
• n 頂点をもつ二部グラフにおいて、最大重みパピュラー・マッチングを計算するアルゴリズムが O*(2^{n/4}) の実行時間で提示された。
• 非二部グラフにおける強支配マッチングの存在は、4つの構造的制約を満たす頂点分割 (L, R) によって特徴付けられ、これにより検証と構築が効率的に行える。
• T_a および T_b 配列を用いた双対変数の解析により、すべての時刻 t ∈ [0, 1) においてコスト制約が満たされていることが確認され、緩和枠組みにおける解の妥当性が保証される。