[論文レビュー] Max Weight Independent Set in Graphs with No Long Claws: An Analog of the Gyárfás' Path Argument

Konrad Majewski, Tomáš Masařík+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、部分分割されたクモの形 $S_{t,t,t}$ を誘導部分グラフとして含まないグラフにおける最大重み独立集合問題（MWIS）に対して、実行時間 $2^{O(ar{t} \log n)}$ の部分指数時間アルゴリズムと、実行時間 $2^{O(\varepsilon^{-1} \log^5 n)}$ の準多項式時間近似スキーム（QPTAS）を提示する。主な技術的貢献は、$S_{t,t,t}$-free グラフにおけるGyárfásの経路議論の類似物である。多項式時間内に、$O(t \log n)$ 個の頂点からなる集合 $P$ を見つけ、残りのグラフが各粒子の頂点数が元のグラフの半分以下である拡張されたストリップ分解をもつようにできる。これにより、効率的な分割統治の再帰が可能になる。

ABSTRACT

We revisit recent developments for the Maximum Weight Independent Set problem in graphs excluding a subdivided claw $S_{t,t,t}$ as an induced subgraph [Chudnovsky, Pilipczuk, Pilipczuk, Thomassé, SODA 2020] and provide a subexponential-time algorithm with improved running time $2^{\mathcal{O}(\sqrt{n}\log n)}$ and a quasipolynomial-time approximation scheme with improved running time $2^{\mathcal{O}(\varepsilon^{-1} \log^{5} n)}$. The Gyárfás' path argument, a powerful tool that is the main building block for many algorithms in $P_t$-free graphs, ensures that given an $n$-vertex $P_t$-free graph, in polynomial time we can find a set $P$ of at most $t-1$ vertices, such that every connected component of $G-N[P]$ has at most $n/2$ vertices. Our main technical contribution is an analog of this result for $S_{t,t,t}$-free graphs: given an $n$-vertex $S_{t,t,t}$-free graph, in polynomial time we can find a set $P$ of $\mathcal{O}(t \log n)$ vertices and an extended strip decomposition (an appropriate analog of the decomposition into connected components) of $G-N[P]$ such that every particle (an appropriate analog of a connected component to recurse on) of the said extended strip decomposition has at most $n/2$ vertices.

研究の動機と目的

• 部分分割されたクモの形 $S_{t,t,t}$ を誘導部分グラフとして含まないグラフにおける最大重み独立集合（MWIS）問題の高速化アルゴリズムの開発。
• $P_t$-free グラフアルゴリズムの基盤であるGyárfásの経路議論を、$S_{t,t,t}$-free グラフのクラスへ拡張すること。
• 小さな近傍を削除した後のグラフの構造的分解（拡張されたストリップ分解）を提供し、各成分（粒子）が元のグラフのサイズの半分以下であることを保証すること。
• $S_{t,t,t}$-free グラフにおける MWIS の既存の QPTAS および部分指数時間アルゴリズムの実行時間の上限を改善すること。

提案手法

• 拡張されたストリップ分解を用いて、$S_{t,t,t}$-free グラフにおける Gyárfásの経路議論の類似物を導入：多項式時間内に、$G - N[P]$ が拡張されたストリップ分解をもつような $O(t \log n)$ 個の頂点からなる集合 $P$ を計算する。
• 拡張されたストリップ分解を、各「粒子」が再帰的に処理可能な部分グラフであるような連結成分の一般化として定義する。
• この分解を用いて再帰的ブランチングアルゴリズムを設計：各ステップで、$N[P]$ に対してブランチするか、サイズが $n/2$ 以下の粒子に対して再帰的に処理する。
• 近似パラメータ $\varepsilon$ に関連する深さ $\beta(h, \varepsilon)$ を用いた、QPTAS フレームワークを適用。重い粒子または重み分布を均等に分割するパスを推測することで、再帰の深さを対数オーダーに保証する。
• 任意の拡張されたストリップ分解における粒子数が $n$ で有界であることを活用し、候補となる分解の列挙を $n^{O(\log n)}$ で行えるようにする。
• 再帰木の再帰的解析を用い、深さと近似パラメータ $\varepsilon$ に関連する関数 $\beta(h, \varepsilon)$ を含む再帰式により、総実行時間を上限で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gyárfásの経路議論は、$P_t$-free から $S_{t,t,t}$-free グラフへ一般化可能か？
• RQ2 $S_{t,t,t}$-free グラフにおける効率的な分割統治を可能にする構造的分解は何か？
• RQ3 $S_{t,t,t}$-free グラフにおける MWIS の QPTAS および部分指数時間アルゴリズムの実行時間は改善可能か？
• RQ4 ある定数サイズの集合 $P$ が存在し、$G - N[P]$ がサイズが $\varepsilon |V(G)|$ 以下の粒子に分解可能か？

主な発見

• 本稿では、$S_{t,t,t}$-free グラフにおける MWIS 問題に対して、実行時間 $2^{O(\sqrt{n} \log n)}$ の部分指数時間アルゴリズムを提示する。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、実行時間 $2^{O(\varepsilon^{-1} \log^5 n)}$ の準多項式時間近似スキーム（QPTAS）が達成された。
• 主な技術的結果は、多項式時間で $O(t \log n)$ 個の頂点からなる集合 $P$ を計算し、$G - N[P]$ がすべての粒子のサイズが $n/2$ 以下である拡張されたストリップ分解をもつようにできることである。
• QPTAS における候補解の族のサイズは $n^{O(\log n)}$ で有界であり、これにより効率的な列挙が可能である。
• 本手法により、Gyárfasの経路議論が $S_{t,t,t}$-free グラフへ一般化され、対数的深さの再帰的アルゴリズムの構築が可能になった。
• 著者らは、ある定数サイズの集合 $P$ が存在し、$G - N[P]$ がサイズが $\varepsilon |V(G)|$ 以下の粒子に分解可能であると予想しており、これにより多項式時間アルゴリズムが得られると考えている。