[論文レビュー] Maximal Beable Subalgebras of Quantum-Mechanical Observables

Hans Halvorson, Rob Clifton|ArXiv.org|May 13, 1999

Quantum Mechanics and Applications参考文献 22被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、与えられた状態が分散フリー状態の混合であるような、量子観測可能量の部分代数としての最大beable部分代数を導入し、特徴づける。これにより、同時に確定値をとる観測可能量の最大集合を特定するための厳密な数学的枠組みが提供される。主な貢献は、このような部分代数がコペンハーゲン解釈の核となる原則、すなわち補完性および正準共役変数の不確定性を裏付けるものであることを確立することにある。

ABSTRACT

Given a state on an algebra of bounded quantum-mechanical observables (the self-adjoint part of a C*-algebra), we investigate those subalgebras that are maximal with respect to the property that the given state's restriction to the subalgebra is a mixture of dispersion-free states---what we call maximal "beable" subalgebras (borrowing a terminology due to J. S. Bell). We also extend our investigation to the theory of algebras of unbounded observables (as developed by R. Kadison), and show how our results articulate a solid mathematical foundation for central tenets of the orthodox Copenhagen interpretation of quantum theory (such as the joint indeterminacy of canonically conjugate observables, and Bohr's defense of the completeness of quantum theory against the argument of Einstein, Podolsky, and Rosen).

研究の動機と目的

• 与えられた状態の分散フリー混合性の性質に関して閉じた、量子観測可能量の最大部分代数を特定・特徴づける。
• 可換代数にとどまらず、非可換な設定へと「beables」（確定値をとる観測可能量）の概念を拡張する。
• コペンハーゲン解釈の主要な原則、たとえば補完性やEPRパラドックスの解決策の背後にある数学的・厳密な基盤を提供する。
• 位置と運動量の観測可能量を含むEPR型の状況において、最大beable部分代数の役割を分析する。
• 非有界な観測可能量へとこの枠組みを一般化するため、$C^*$-代数および$C^*$-代数的技法を、非有界連続関数の文脈で用いる。

提案手法

• $C^*$-代数およびフォン・ノイマン代数を用いて、状態が分散フリー状態の混合に制限される部分代数として、最大beable部分代数を定義する。
• GNS構成を用いて、状態をヒルベルト空間上のベクトルとして表現し、スペクトル性質および分散フリー状態の分析を可能にする。
• 正準交換関係（CCR）のウェイル形を用いて、位置と運動量の観測可能量に関連するユニタリ作用素を分析する。
• GNS表現におけるコーシー＝シュワルツの不等式および$*$-準同型の性質を用いて、ユニタリ要素がbeable部分代数に含まれることを証明する。
• スペクトル測度および関数計算を用いて、自己随伴作用素のボレル関数および有界一様連続（BUC）関数をbeable部分代数に関連付ける。
• ゲルソンの定理を適用し、有限次元の場合への還元を用いて、非可換部分代数において部分的分散フリー状態が存在しないことを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な量子観測可能量の部分代数の中で、分散フリー状態の混合を許容できるのはどの部分代数か？
• RQ2 量子理論の代数的構造内において、「beables」の概念を数学的に厳密に形式化する方法は何か？
• RQ3 最大beable部分代数は、EPRパラドックスの解決と量子力学の完全性の維持に果たす役割は何か？
• RQ4 最大beable部分代数は、位置と運動量のような正準共役観測可能量の同時不確定性とどのように関係するか？
• RQ5 最大beable部分代数の枠組みは、非有界な観測可能量へと拡張可能か？また、これは標準的な量子形式主義とどのように関係するか？

主な発見

• 状態 $\rho$ に対して、最大beable部分代数 $\mathfrak{B}(C^*(Q_1), \rho)$ は、$Q_1$ を測定したとき、$Q_2$ のすべての有界一様連続関数を含むが、$D_2$ の関数は含まない。
• $C^*(Q_2)$ は $\mathfrak{B}(C^*(Q_1), \rho)$ に含まれるが、$C^*(D_2)$ は含まれない。これは、$Q_2$ と $D_2$ の間の非可換性が、ウェイルCCRの下で生じるためである。
• $s \neq 0$ に対して $W_s = e^{isD_2} \in \mathfrak{B}(C^*(Q_1), \rho)$ が成り立つと仮定すると、ウェイル関係 $U_t W_s = e^{ist} W_s U_t$ と分散フリー状態の非ゼロスペクトルが矛盾を引き起こす。
• GNS表現により、$\pi_\rho(A)x_\rho \in \mathcal{S}$ がユニタリ $A \in C^*(Q_2)$ に対して成り立つため、$A \in \mathfrak{B}(C^*(Q_1), \rho)$ であることが確認される。
• この枠組みはボーリングの補完性原理を支持する：固定された測定状況では、$Q_2$ と $D_2$ のどちらか一方しか同時に確定値をとることができない。
• 結果として、コペンハーゲン解釈の背後にある厳密な代数的基盤が得られ、特に位置と運動量が同時に確定値をとれない理由の説明が可能になる。