[論文レビュー] Maximal $\bf L^p$ analysis of finite element solutions for parabolic equations with nonsmooth coefficients in convex polyhedra

Buyang Li, Weiwei Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、凸多面体領域における滑らかでない係数をもつ放物型方程式のガラーキン有限要素解について、最適な $ L^p $ 誤差推定と離散的 maximal $ L^p $ 正則性を確立する。離散的半群の解析的性質を証明し、拡散係数の $ W^{1,N+\beta} $ 正則性のもとで重み付き $ L^p $ 評価を用いることで、対数因子を含まない最適収束率を達成し、滑らかでない係数への maximal $ L^p $ 理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

The paper is concerned with Galerkin finite element solutions for parabolic equations in a convex polygon or polyhehron with a diffusion coefficient in $W^{1,N+ε}$ for some $ε>0$, where $N$ denotes the dimension of the domain. We prove the analyticity of the semigroup generated by the discrete elliptic operator, the discrete maximal $L^p$ regularity and the optimal $L^p$ error estimate of the finite element solution for the parabolic equation.

研究の動機と目的

• 滑らかでない係数をもつ放物型方程式の有限要素解について、離散的 maximal $ L^p $ 正則性を確立すること。
• 凸多面体領域におけるガラーキン有限要素法について、最適な $ L^p $ 誤差推定を証明すること。
• 拡散係数が $ W^{1,N+\beta} $ に属する場合（$ \beta > 0 $）に、最大 $ L^p $ 理論を滑らかさの仮定を緩和して拡張すること。
• 係数の $ W^{1,N+\beta} $ 正則性と領域の凸性を活用することで、誤差推定における対数因子を除去すること。
• 係数に関する最小限の正則性仮定の下で、有限要素解の $ L^p $ ノルム解析を統一的枠組みで提供すること。

提案手法

• 有限要素作用素 $ A_h $ が生成する離散的半群 $ \{E_h(t)\}_{t>0} $ の解析的性質を証明し、$ L^p $ ノルムにおける安定性を保証する。
• 最大正則性に不可欠な離散的リゾルベント推定 $ \| (\lambda + A_h)^{-1} v_h \|_{L^\infty} \leq C \lambda^{-1} \| v_h \|_{L^\infty} $ を $ \lambda \in \Sigma_{\varphi + \pi/2} $ に対して確立する。
• 重み付き $ L^p $-推定と $ L^q $ 上でのリーマン変換の有界性を用いて、$ \| \nabla u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C \| f \|_{L^p((0,T);L^q)} $ を導出する。これは最大 $ L^p $ 正則性の核心である。
• デ・ジョルジ・ナッシュ・モーザー理論と $ W^{1,N+\beta} $ 正則性に依拠し、局所的 $ L^q $-ノルム制御によるリーマン変換有界性基準を適用する。
• $ s = qN/(q+N) $ を用いて $ W^{1,s} \hookrightarrow L^q $ および $ L^s \hookrightarrow W^{-1,q} $ の埋め込みを用い、エネルギー推定における低次の項を制御する。
• 切り上げ関数技術と反復的スケーリングを用いて、局所的 $ L^q $-ノルム推定 (A.10) を導出し、これによりリーマン変換の有界性、したがって最大正則性が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない係数をもつ放物型有限要素スキームについて、凸多面体領域において離散的 maximal $ L^p $ 正則性を確立できるか？
• RQ2 拡散係数が $ C^2 $ でない場合でも、有限要素解の $ L^p $ 誤差推定は最適のままであるか？
• RQ3 係数の $ W^{1,N+\beta} $ 正則性と領域の凸性のもとで、従来の誤差推定における対数因子を除去できるか？
• RQ4 $ W^{1,N+\beta} $ 正則性の係数と凸多面体領域のもとで、リーマン変換 $ \nabla A^{-1/2} $ が $ L^q(\Omega) $ 上で有界であるか？
• RQ5 放物型方程式の有限要素解について、最適な $ L^p $ 収束を保証する係数 $ a $ の鋭い正則性条件は何か？

主な発見

• 有限要素作用素 $ A_h $ が生成する離散的半群 $ \{E_h(t)\}_{t>0} $ は、$ L^\infty \cap S_h $ 上で解析的であり、メッシュサイズに依存しない一様な境界を持つ。
• 離散的 maximal $ L^p $ 正則性推定が成立する：すべての $ 1 < p,q < \infty $ に対して $ \| \partial_t u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} + \| A_h u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C_{p,q} \| f \|_{L^p((0,T);L^q)} $ であり、対数因子を含まない。
• 最適な $ L^p $ 誤差推定が得られる：$ W^{1,N+\beta} $ 正則性のもとで $ \| P_h u - u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C_{p,q} ( \| P_h u^0 - u_h^0 \|_{L^q} + \| P_h u - R_h u \|_{L^p((0,T);L^q)} ) $。
• 係数 $ a \in W^{1,N+\beta}(\Omega) $ かつ $ \Omega $ が凸である限り、リーマン変換 $ \nabla A^{-1/2} $ は $ L^q(\Omega) $ 上で有界であり、これは最大正則性に不可欠である。
• 解 $ A u = 0 $ についての局所的 $ L^q $-ノルム制御 (A.10) は、反復的スケーリングと $ W^{1,s} \hookrightarrow L^q $ 埋め込みを用いて確立され、リーマン変換の有界性を裏付ける。
• 結果は $ N = 2,3 $ に対して成り立ち、提示された係数正則性のもとで一般の凸多面体領域へ拡張可能であり、従来の滑らかさ制約が排除される。