[論文レビュー] Maximal C*-algebras of quotients and injective envelopes of C*-algebras

Pere Ara, Martin Mathieu|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、C*-代数 $ A $ の局所乗数代数 $ M_{\text{loc}}(A) $ と単射包 $ I(A) $ の間にある新たな C*-代数である、商の最大 C*-代数 $ Q_{\text{max}}(A) $ を導入する。$ Q_{\text{max}}(A) $ が非可換環論的意味での最大の C*-代数の商であることを確立し、$ Q_{\text{max}}(A) $ が対称的商代数の有界部 $ Q_{\text{max}}^s(A)_b $ と同型であることを証明することで、$ Q_{\text{max}}(A) $ をヒルベルトモジュール上の連続的場の有界作用素の形で明示的な表現を与える。

ABSTRACT

A new C*-enlargement of a C*-algebra $A$ nested between the local multiplier algebra $M_{ ext{loc}}(A)$ of $A$ and its injective envelope $I(A)$ is introduced. Various aspects of this maximal C*-algebra of quotients, $Q_{ ext{max}}(A)$, are studied, notably in the setting of AW*-algebras. As a by-product we obtain a new example of a type I C*-algebra $A$ such that $M_{ ext{loc}}(M_{ ext{loc}}(A)) e M_{ ext{loc}}(A)$.

研究の動機と目的

• C*-代数 $ A $ の局所乗数代数 $ M_{\text{loc}}(A) $ と単射包 $ I(A) $ の間にある新しい C*-代数 $ Q_{\text{max}}(A) $ を導入・研究し、C*-代数拡大理論における構造的ギャップを埋める。
• 非可換環論的意味で $ Q_{\text{max}}(A) $ が最大の C*-代数の商であることを示し、対称的商代数の構成を用いる。
• $ Q_{\text{max}}(A) $、$ M_{\text{loc}}(A) $、$ I(A) $ の関係を、特に AW*-代数と可換 C*-代数の文脈で調査する。
• ヒルベルトモジュール上の連続的場の有界作用素の観点から、$ Q_{\text{max}}(A) $ の明示的表現を提供する。特に $ A = C(X) \otimes B(H) $ の場合に焦点を当てる。

提案手法

• $ Q_{\text{max}}(A) $ の構成は、対称的商代数 $ Q_{\text{max}}^s(A) $ に依拠し、適切な順序構造を対称的代数に導入し、順序有界な元を定義する。
• 本稿では、閉じた本質的右イデアルの格子 $ \mathfrak{I}_{cer} $ 上のガブリエルフィルターの概念を用い、商代数が密度およびキャンセル性条件を満たすように保証する。
• $ X $ がストーンアン空間であるときの $ A = C(X) \otimes B(H) $ の表現を用い、$ Q_{\text{max}}(A) $ が、$ F $ をヒルベルト $ C(X) $-モジュールとして、$ y \in C(X, B(H)_\sigma) $ で、$ yF + y^*F \subseteq \varprojlim_{U \in \mathcal{D}} C_b(U, H) $ を満たすすべての $ y $ からなることを特定する。ここで $ \mathcal{D} $ は、安定な開集合のフィルターである。
• 主な技術的道具は、本質的部分モジュールと連続的制限に関する特徴づけを用いて、$ Q_{\text{max}}(A) $ を対称的商代数の有界部 $ Q_{\text{max}}^s(A)_b $ と同定することである。
• 直接的極限の記述を避けて、ウトゥミとランニングのアイデアを C*-代数の文脈に適応した代数的技法に依拠する。
• 本稿では、ヒルベルト C*-モジュールおよび完全有界モジュール準同型の理論を用いて、$ Q_{\text{max}}(A) $ の構造を分析し、特に乗数代数や単射包との関係を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ X $ が第一-category部分集合をもつストーンアン空間で、$ A = C(X) \otimes B(H) $ のとき、$ Q_{\text{max}}(A) $ は単射包 $ I(A) $ に等しいか？
• RQ2 すべての C*-代数 $ A $ に対して $ Q_{\text{max}}(A) $ は AW*-代数か？特に $ M_{\text{loc}}(M_{\text{loc}}(A)) \neq M_{\text{loc}}(A) $ となる場合があることから、この点を検討する。
• RQ3 すべての AW*-代数 $ A $ に対して $ Q_{\text{max}}(A) = A $ が成り立つか？成り立たない場合、その構造的障害は何か？
• RQ4 すべての $ k \geq 1 $ に対して $ M_{\text{loc}}^{(k)}(A) \subseteq Q_{\text{max}}(A) $ が成り立ち、局所乗数代数の反復的構成が $ Q_{\text{max}}(A) $ の中で閉じるか？
• RQ5 $ Q_{\text{max}}(Q_{\text{max}}(A)) = Q_{\text{max}}(A) $ が成り立つか、すなわち $ Q_{\text{max}}(A) $ が自身の構成に関して冪等的か？

主な発見

• 最大 C*-代数の商 $ Q_{\text{max}}(A) $ は、対称的商代数の有界部 $ Q_{\text{max}}^s(A)_b $ と同型であり、明示的特徴づけが得られる。
• $ X $ がストーンアン空間のとき、$ A = C(X) \otimes B(H) $ に対して、$ Q_{\text{max}}(A) $ はすべての $ y \in C(X, B(H)_\sigma) $ で、$ yF + y^*F \subseteq \varprojlim_{U \in \mathcal{D}} C_b(U, H) $ を満たすものからなる。ここで $ F $ はヒルベルト $ C(X) $-モジュールであり、$ \mathcal{D} $ は安定な開集合のフィルターである。
• 構成により $ M_{\text{loc}}(A) \subseteq Q_{\text{max}}(A) \subseteq I(A) $ が保証され、厳密包含が可能であることが、$ Q_{\text{max}}(A) \neq A = M_{\text{loc}}(A) $ となるユニタル単純無限次元 C*-代数の例によって示された。
• 本稿は、$ M_{\text{loc}}(M_{\text{loc}}(A)) \neq M_{\text{loc}}(A) $ となるタイプ I C*-代数 $ A $ の新しい例を提供する。これは $ Q_{\text{max}}(A) $ の構造に起因する。
• $ A = C(X) \otimes B(H) $ のとき、$ I(A) $ のすべてのアーベル射影が $ Q_{\text{max}}(A) $ に含まれることが示された。これは、$ X $ に特定の位相的条件が成り立つと $ Q_{\text{max}}(A) = I(A) $ となる可能性を示唆する。
• 本稿では $ Q_{\text{max}}^s(Q_{\text{max}}^s(A)) = Q_{\text{max}}^s(A) $ が示され、$ Q_{\text{max}}^s(A) $ が冪等的であることが示された。一方、$ Q_{\text{max}}(Q_{\text{max}}(A)) = Q_{\text{max}}(A) $ かどうかは未解決のままである。