[論文レビュー] Maximal commutative subalgebras, Poisson geometry and Hochschild homology

Tomasz Maszczyk|ArXiv.org|Mar 15, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、最大可換部分代数から導かれるほぼ可換代数のホッジィルドホモロジーへ収束するスペクトル系列を構成する。$E^2$-項は、関連する次数付きポアソン代数およびモジュールの標準的ポアソンホモロジーを介して計算される。この構成により、最大可換部分代数によって誘導されるフィルトレーションを通じて、ポアソン幾何学とホッジィルドホモロジーを結びつける。微分ホイールとポアソンモジュールを用いて、ブリリニスキーのスペクトル系列を非線形的・幾何的設定へ一般化する。

ABSTRACT

A Poisson geometry arising from maximal commutative subalgebras is studied. A spectral sequence convergent to Hochschild homology with coefficients in a bimodule is presented. It depends on the choice of a maximal commutative subalgebra inducing appropriate filtrations. Its E^{2}_{p,q}-groups are computed in terms of canonical homology with values in a Poisson module defined by a given bimodule and a maximal commutative subalgebra.

研究の動機と目的

• 最大可換部分代数によって誘導されるフィルトレーションを用いた、ホッジィルドホモロジーのブリリニスキーのスペクトル系列の一般化を達成すること。
• 標準的ポアソンモジュール複体を通じて、ポアソン幾何学とホッジィルドホモロジーの間の関係を確立すること。
• 代数 $A$ とその最大可換部分代数 $C$ に対して、微分ホイール $\mathrm{D}^C A$ を定義し、それがほぼ可換になることを探る。
• 関連する次数付きポアソン代数およびモジュールの標準的ポアソンホモロジーを用いて、スペクトル系列の $E^2$-項を計算すること。
• 関連する次数付き対象 $\mathrm{Gr}^C A$ が自然なポアソン構造を持ち、$\mathrm{Gr}^C M$ がその対応するポアソンモジュール構造を持つことの証明。

提案手法

• 本稿は、代数 $A$ とその双加法的モジュール $M$ に最大可換部分代数 $C$ を用いてフィルトレーションを定義し、ほぼ可換代数 $\mathrm{D}^C A$ およびほぼ対称的双加法的モジュール $\mathrm{D}^C M$ を得る。
• 合計次数によるフィルトレーションを用いて、$\mathrm{D}^C A$ のホッジィルド複体にスペクトル系列を構成する。
• $\mathrm{Gr}^C A$ が自然なポアソン構造を持ち、$\mathrm{Gr}^C M$ がその対応するポアソンモジュール構造を持つことが示される。
• スペクトル系列の $E^2$-項は、複体 $C^{\text{can}}_\bullet(B,N)$ を用いて、ポアソン代数 $\mathrm{Gr}^C A$ とそのポアソンモジュール $\mathrm{Gr}^C M$ に対する標準的ホモロジーと同定される。
• 標準的複体の微分は、ポアソン括弧を介して定義される：$\partial(n \otimes \mathrm{d}b_1 \cdots \mathrm{d}b_k) = \sum (-1)^{i-1} \{n,b_i\} \otimes \widehat{\mathrm{d}b_i} + \sum (-1)^{i+j} n \otimes \mathrm{d}\{b_i,b_j\} \cdots$
• 変形 $\mathrm{Def}M = \sum_p \mathrm{F}^C_p M \cdot t^p \subset M[t]$ を用いて構成を一般化し、$t=0$ で $\mathrm{Gr}^C A$ に、$t=1$ で $\mathrm{D}^C A$ に特殊化される。この変形により、$\mathrm{Spec} C$ 上の非線形的自己同型分布が実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大可換部分代数によって誘導されるフィルトレーションを通じて、非可換代数のホッジィルドホモロジーをどのように計算できるか。
• RQ2 このようなフィルトレーションの関連する次数付き代数 $\mathrm{Gr}^C A$ に自然に現れるポアソン幾何的構造は何か。
• RQ3 標準的ポアソンホモロジー複体は、ホッジィルドホモロジーのスペクトル系列の $E^2$-項とどのように関係するか。
• RQ4 スペクトル系列は滑らかな代数に限らず一般化可能か。この文脈で微分ホイール $\mathrm{D}^C A$ の役割は何か。
• RQ5 $\mathrm{Def}A$ の $t=0$ 特殊化の幾何的解釈は何か。

主な発見

• スペクトル系列は、代数 $A$ の最大可換部分代数 $C$ によって誘導されるフィルトレーションを用いて、ホッジィルドホモロジー $\mathrm{H}_{p+q}(\mathrm{D}^C A, \mathrm{D}^C M)$ へ収束する。
• $E^2$-項は、$\mathrm{Gr}^C A$ が $R$ 上滑らかであるとき、標準的ポアソンホモロジーと同型である：$\mathrm{E}^2_{p,q} \cong \mathrm{H}^{\text{can}}_{p+q}(\mathrm{Gr}^C A, \mathrm{Gr}^C M)_p$。
• 関連する次数付き代数 $\mathrm{Gr}^C A$ は、括弧の次数が $-1$ の自然なポアソン構造を持つ。
• 関連する次数付き双加法的モジュール $\mathrm{Gr}^C M$ は、$\mathrm{Gr}^C A$ 上の次数付きポアソンモジュールであり、ポアソン構造と整合的である。
• $\mathrm{Def}A$ の $t=0$ 特殊化は、$\mathrm{Spec} C$ 上の非線形的自己同型分布を実現し、$\mathrm{Def}M$ はその分布に沿った平坦接続を持つ。
• $A = M_n(k)$ の場合、対角部分代数 $C \cong k^n$ は $\mathrm{Gr}^C A = C$ を与え、滑らかである。一方、ジョルダン型部分代数 $C \cong k[x]/(x^{n+1})$ は、$\mathrm{Gr}^C A \cong \text{polynomial algebra on } n\text{th}\text{ infinitesimal neighborhood of nilpotent cone in } \mathfrak{sl}_2^*$ と同型であり、キリロフ＝コスタント＝ソリアウのポアソン構造を持つ。