[論文レビュー] Maximal degree variational principles

Giuseppe Gaeta, Paola Morando|ArXiv.org|May 14, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$n$次元多様体上の$(n-2)$-形式に基づく変分原理が、滑らかな関数による乗算を除いて一意にベクトル場を特定することを確立している。これは、常微分方程式における標準的な変分原理を高次形式へ一般化するものである。主な結果として、任意のリウヴィル（体積保存）ベクトル場は、最大次数の変分的特徴付けを有することが示され、ハミルトン系やナンブ系の既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $M$ be smooth $n$-dimensional manifold, fibered over a $k$-dimensional submanifold $B$ as $π:M o B$, and $\vartheta \in Λ^k (M)$; one can consider the functional on sections $ϕ$ of the bundle $π$ defined by $\int_D ϕ^* (\vartheta)$, with $D$ a domain in $B$. We show that for $k = n-2$ the variational principle based on this functional identifies a unique (up to multiplication by a smooth function) nontrivial vector field in $M$, i.e. a system of ODEs. Conversely, any vector field $X$ on $M$ satisfying $i_X ({ m d} \vartheta) = 0$ for some $\vartheta \in Λ^{n-2} (M)$ admits such a variational characterization. We consider the general case, and also the particular case $M = P imes R$ where one of the variables (the time) has a distinguished role; in this case our results imply that any Liouville (volume-preserving) vector field on the phase space $P$ admits a variational principle of the kind considered here.

研究の動機と目的

• 標準的一次形式を超えて、特に$n$次元多様体上の$(n-2)$-形式への変分原理を拡張すること。
• このような変分原理が、偏微分方程式系ではなく、滑らかな関数によるスケーリングを除いてベクトル場を一意に特定することを示すこと。
• ハミルトン系、ナンブ系、ハイパーハミルトン系などの動的系に現れるすべてのリウヴィルベクトル場が、$(n-2)$-形式による変分的特徴付けを有することを示すこと。
• カルタンイデアルと微分形式に基づく、一様な変分的枠組みにおいて、多様な動的系の幾何的記述を統一すること。

提案手法

• 本稿では、$\dim B = k$ であるファイバー束 $\nabla: M \to B$ を用い、$\vartheta \in \Lambda^{k}(M)$ に対して関数 $I_D(\varphi) = \int_D \varphi^*\vartheta$ を定義する。
• 垂直ベクトル場 $V \in \mathcal{V}_D(\pi)$ に対する変分 $\delta_V I_D(\varphi)$ を分析し、$\varphi^*(V \hskip 2.0pt\vbox{\hbox{\vbox to5.12128pt{\vfill\hbox to7.11317pt{\hfill\hfill}\vfill}\vrule}\hrule}\hskip 2.0pt{\rm d}\vartheta) = 0$ という条件に至る。
• $k = n-2$ の場合、条件 $X \hskip 2.0pt\vbox{\hbox{\vbox to5.12128pt{\vfill\hbox to7.11317pt{\hfill\hfill}\vfill}\vrule}\hrule}\hskip 2.0pt{\rm d}\vartheta = 0$ が、滑らかな関数による乗算を除いて、ベクトル場 $X$ を一意に特定する。
• $M = P \times \mathbb{R}$ の場合に理論を適用し、時間の区別がなされた状況で、$P$ 上の任意のリウヴィルベクトル場が、特定の$(n-2)$-形式 $\vartheta$ を用いた変分原理から導かれることが示された。
• 既知の系への適用により、フレームワークの妥当性を検証した。ハミルトン系（ポincare-カルタン形式を用い）、ナンブ系（$n-1$ 個の関数と体積形式を用い）、ハイパーハミルトン系（3つのシンプレクティック形式と $\mathcal{H}^\alpha$ を用い）。
• 変分問題の解空間を特徴付けるために、カルタンイデアルと変分モジュールの零化核が用いられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$次元多様体上での$(n-2)$-形式に基づく変分原理が、偏微分方程式系ではなく、滑らかな関数による乗算を除いてベクトル場を一意に特定できるか。
• RQ2 $\vartheta \in \Lambda^{n-2}(M)$ に対して $X \hskip 2.0pt\vbox{\hbox{\vbox to5.12128pt{\vfill\hbox to7.11317pt{\hfill\hfill}\vfill}\vrule}\hrule}\hskip 2.0pt{\rm d}\vartheta = 0$ が成り立つとき、$X$ が最大次数の変分的特徴付けから生じるための条件は何か。
• RQ3 多様体上のすべてのリウヴィルベクトル場が、$(n-2)$-形式による変分的特徴付けを有するか。
• RQ4 標準的ハミルトン系、ナンブ系、ハイパーハミルトン系が、$(n-2)$-形式を用いた一様な変分的枠組みでどのように統一できるか。
• RQ5 カルタンイデアルが、このような変分問題の解空間を特徴付ける際に果たす役割は何か。

主な発見

• $k = n-2$ の場合、$(n-2)$-形式 $\vartheta$ を用いた変分原理は、滑らかな関数による乗算を除いて、多様体 $M$ 上のベクトル場 $X$ を一意に特定する。
• $\vartheta \in \Lambda^{n-2}(M)$ に対して $X \hskip 2.0pt\vbox{\hbox{\vbox to5.12128pt{\vfill\hbox to7.11317pt{\hfill\hfill}\vfill}\vrule}\hrule}\hskip 2.0pt{\rm d}\vartheta = 0$ を満たす任意のベクトル場 $X$ は、最大次数の変分的特徴付けを有する。
• $M = P \times \mathbb{R}$ の場合、$P$ 上の任意のリウヴィルベクトル場は、$(2m-1)$-形式 $\vartheta$ を用いた最大次数の変分原理の解として得られる。
• ハミルトン系は、$\vartheta = (\beta + H\,dt) \wedge \zeta$ を用いた変分原理から回復され、ここで $\zeta = \frac{1}{(m-1)!} \omega^{m-1}$ である。
• ナンブ系は、$X \hskip 2.0pt\vbox{\hbox{\vbox to5.12128pt{\vfill\hbox to7.11317pt{\hfill\hfill}\vfill}\vrule}\hrule}\hskip 2.0pt{\rm d}\vartheta = 0$ を満たす $\vartheta$ を用いて変分的であることが示された。ここで $\gamma = H_2 \, dH_3 \wedge \cdots \wedge dH_n$ である。
• ハイパーハミルトン系についても、$\vartheta = \sum_{\alpha=1}^3 \sigma_\alpha \wedge \zeta_\alpha + (6Ns) \sum_{\alpha=1}^3 \mathcal{H}^\alpha \, \zeta_\alpha \wedge dt$ を用いた変分的特徴付けが示され、$Z = \partial_t + X$ が所定の条件を満たすことが確認された。