[論文レビュー] Maximal determinants and saturated D-optimal designs of orders 19 and 37

Richard P. Brent, William P. Orrick+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Optimal Experimental Design Methods参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、19次および37次の{+1, -1}行列の最大行列式問題を、2段階の計算的手法を用いて解決した。まず候補となるグラム行列を特定し、次にそれらを有効な設計に分解する。19次の既知の設計の最大性が確認され、37次の最大行列式が$2^{39} \times 3^{36}$であることが証明され、非同型なD最適設計が複数存在することが判明した。

ABSTRACT

A saturated D-optimal design is a {+1,-1} square matrix of given order with maximal determinant. We search for saturated D-optimal designs of orders 19 and 37, and find that known matrices due to Smith, Cohn, Orrick and Solomon are optimal. For order 19 we find all inequivalent saturated D-optimal designs with maximal determinant, 2^30 x 7^2 x 17, and confirm that the three known designs comprise a complete set. For order 37 we prove that the maximal determinant is 2^39 x 3^36, and find a sample of inequivalent saturated D-optimal designs. Our method is an extension of that used by Orrick to resolve the previously smallest unknown order of 15; and by Chadjipantelis, Kounias and Moyssiadis to resolve orders 17 and 21. The method is a two-step computation which first searches for candidate Gram matrices and then attempts to decompose them. Using a similar method, we also find the complete spectrum of determinant values for {+1,-1} matrices of order 13.

研究の動機と目的

• 19次および37次の{+1, -1}行列の最大行列式を特定すること。特に、飽和D最適設計に焦点を当てる。
• 19次の既に知られている設計が実際に最適であり、同型を除いて完全に網羅されているかどうかを確認すること。
• 37次の正確な最大行列式を確立すること。これは長年の未解決問題であった。
• 奇数次で特に3 mod 4に合同な大きな次数に対しても、最大行列式問題への計算手法を拡張すること。
• 13次の{+1, -1}行列の行列式値の完全なスケーリングを計算し、既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 2段階の計算的手法を採用する。まず、必要な構造的制約および行列式の上限を満たす候補となるグラム行列を探索し、次にそれらを{+1, -1}設計に分解を試みる。
• 分解段階にはバックトラッキングアルゴリズムを用い、自動化された手法であり、本研究分野では以前に未発表のものである。
• エフリッヒとバラバの理論的上限を適用し、特にグラム行列のブロック構造を活用して探索空間を削減する。
• 偶奇正規化を用いて重複を低減し、設計表現の一意性を保証する。
• {+1, -1}行列と{0, 1}行列の間の対応関係を、行列式のスケーリング$(-2)^{n-1}$を介して活用し、結果の妥当性を検証する。
• 15次の手法（オーリック）および以前の次数（17, 21）の手法を一般化し、19次および37次の処理に適用する。特に、グラム行列に3が含まれる行列の構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 19次の{+1, -1}行列の最大行列式は$2^{30} \times 7^2 \times 17$に等しく、その3つの既知の非同型設計が同型を除いて完全に網羅されているか？
• RQ2 37次の{+1, -1}行列の最大行列式の正確な値は何か？ また、複数の非同型D最適設計を構成できるか？
• RQ3 15次の手法を、3 mod 4に合同なより高い奇数次（特に19および37）に拡張可能か？
• RQ4 13次の{+1, -1}行列の行列式値の完全なスケーリングは何か？ また、より小さい次数と比較してどう異なるか？
• RQ5 本手法を用いて、未解決の次数（29, 33, 45, 49, 53, 57）のより厳しい上界を確立できるか？

主な発見

• 19次の最大行列式は$2^{30} \times 7^2 \times 17$に確認され、この行列式を持つすべての非同型な飽和D最適設計が特定され、既知のセットが完全であることが裏付けられた。
• 37次の最大行列式は$2^{39} \times 3^{36}$に証明され、以前未解決であったケースが解決された。
• 37次の非同型な飽和D最適設計のサンプルが構成され、複数の非同型解が存在することを示した。
• 13次の{+1, -1}行列の行列式値の完全なスケーリングが計算され、11次から13次への既知のスケーリングの拡張が達成された。
• 3 mod 4の次数において最小の未解決ケースが、エフリッヒの上限の複雑さにもかかわらず、本手法により成功裏に解決された。
• 29, 33, 45, 49, 53, 57次の次数について、既存の上界と下界の差を縮小するより良い上界が確立された。