[論文レビュー] Maximal dissipation principle for the complete Euler system

Jan Březina, Eduard Feireisl|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、エントロピー生成率 σ を最大化することにより、完全なオイラー系に対する最大散乱測度値（DMV）解を導入し、古典的解が存在しない場合でも物理的に意味のある解が保証される。Zornの補題とDMV枠組みにおけるコンパクト性の議論を用いて、一般の熱力学的および構成的仮定の下でこのような解の存在を証明する。

ABSTRACT

We introduce the concept of maximal dissipative measure-valued solution to the complete Euler system. These are solutions that maximize the entropy production rate. We show that these solutions exist under fairly general hypotheses imposed on the data and constitutive relations.

研究の動機と目的

• 多次元における完全なオイラー系の不適切な定式化に対処する。ここで、ゼロのエントロピー生成を伴う無限に多くの弱解が存在する。
• Dafermosがアドミッション条件として提案した、エントロピー生成率 σ を最大化することにより、物理的に意味のある解を同定する。
• 局所的な物理空間における σ の局所的最大性を保証するように、最大散乱の概念を測度値解へと拡張する。
• 初期データおよび構成関係に関する一般仮定の下で、最大DMV解の存在を確立する。これには多項的状態方程式を含む。
• エントロピー生成を最大化する解選択の厳密な枠組みを提供し、非物理的で乱雑な解を除外する。

提案手法

• 濃度と振動効果を許容する弱解の列の極限として測度値解を導入する。
• エントロピー生成率 σ を [0,T]×Ω̅ 上の非負のボレル測度として定義し、エントロピー生成の割合を表す。
• DMV解の部分順序集合（σ₁ ≥ σ₂ の順序）にZornの補題を適用し、最大元の存在を保証する。
• DMV解空間における一様推定とコンパクト性を用いて、Zornの補題の条件を検証する。
• 物理的一致性とエントロピー関数の適切な定義を保証するため、熱力学的安定性および凹性条件を課す。
• 多項的状態方程式 p = (γ−1)ϱe（γ > 1）を考察し、関数 S を用いて p/ϱ^γ に関するエントロピー s の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の初期データおよび構成的データのもとで、完全なオイラー系に対して最大散乱測度値解を構成可能か？
• RQ2 空間的・時間的局所的にエントロピー生成率 σ を最大化することは、多次元オイラー系において物理的に意味のある解を選択するか？
• RQ3 弱解の不適切な定式化を克服するために、最大散乱の原理を測度値枠組みに厳密に拡張可能か？
• RQ4 状態方程式および熱力学関数にどのような条件を課すと、このような最大解の存在が保証されるか？
• RQ5 提案された最大散乱基準は、非物理的解を除外する観点で、グローバルエントロピー最大化と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 一般の初期データおよび構成関係（多項的状態方程式を含む）のもとで、完全なオイラー系に対して最大散乱測度値解が存在する。
• エントロピー生成率 σ は空間的・時間的点で最大化されており、グローバル積分最大化ではなく局所的最大性が保証されている。
• 存在証明は、σ を順序とするDMV解の部分順序集合にZornの補題を適用し、コンパクト性と一様推定によって最大元の存在を保証する。
• 熱力学的安定性条件 ∂p/∂ϱ > 0 および ∂e/∂ϑ > 0 が、エントロピー関数の物理的一致性と適切な定義を保証するのに十分である。
• 多項的ケースでは、エントロピー s は s(ϱ,e) = S((γ−1)e/ϱ^{γ−1}) = S(p/ϱ^γ) と表され、S' > 0 であり、条件 (5.8) の下で総エントロピー関数の凹性が保証される。
• S の定義域は区間 (p̄, ∞) であり、p̄ ≥ 0 は ϑ → 0 のときの p/ϱ^γ の極限値であり、S は lim_{Z→p̄+} S(Z) ∈ {0, −∞} となるように正規化可能である。