[論文レビュー] Maximal estimates for the bilinear spherical averages and the bilinear Bochner-Riesz operators

Eun-Hee Jeong, Sanghyuk Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、二重球的 maximal 演算子および最大二重ボホルン＝リーツ作用素の $L^p \times L^q \to L^r$ の鋭い評価を確立し、長年の未解決問題を解消した。その結果、最適な指数範囲が同定された。二重球的 maximal 演算子が有界であるための必要十分条件は $ r > \frac{d}{2d-1} $ かつ Hölder 条件を満たすことであり、端点の場合には Lorentz 空間における弱型評価も得られた。

ABSTRACT

We study the maximal estimates for the bilinear spherical average and the bilinear Bochner-Riesz operator. Firstly, we obtain $L^p imes L^q o L^r$ estimates for the bilinear spherical maximal function on the optimal range. Thus, we settle the problem which was previously considered by Geba, Greenleaf, Iosevich, Palsson and Sawyer, later Barrionevo, Grafakos, D. He, Honzík and Oliveira, and recently Heo, Hong and Yang. Secondly, we consider $L^p imes L^q o L^r$ estimates for the maximal bilinear Bochner-Riesz operators and improve the previous known results. For the purpose we draw a connection between the maximal estimates and the square function estimates for the classical Bochner-Riesz operators.

研究の動機と目的

• 二重球的 maximal 演算子の $L^p \times L^q \to L^r$ 有界性の完全な範囲を特徴づけるという未解決問題を解消すること。
• 古典的ボホルン＝リーツ作用素の平方関数評価と関連づけることで、二重ボホルン＝リーツ作用素の maximal 評価に関する既存の結果を改善すること。
• 強型評価が成立しない端点の場合に、Lorentz 空間における鋭い弱型評価を確立すること。
• 二重球的 maximal 演算子の最適な指数範囲を完全に特徴づけ、鋭さの結果を示すこと。

提案手法

• 乗数の分解と表面測度 $d\sigma_{2d-1}$ のフーリエ変換の漸近展開を用いて、$L^p \times L^q \to L^r$ の有界性を確立する。
• wavelet分解と補間技術を用いて、$L^2 \times L^2 \to L^1$ の端点ケースを扱う。
• 古典的ボホルン＝リーツ作用素の maximal 評価と平方関数評価の関係を応用し、二重ケースの有界性を得る。
• 部分積分とカーネルの減衰評価を用いて、dyadic 分解に起因する誤差項を制御する。
• ホルダーの不等式と maximal 関数の評価を用いて、maximal 演算子の $L^r$ ノルムを制御する。
• 乗数の同次性に依存する一様評価を得るため、$L^2$ と $L^\infty$ 評価の補間を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重球的 maximal 演算子の $L^p \times L^q \to L^r$ 有界性の完全な範囲は何か？
• RQ2 二重球的 maximal 演算子の鋭い端点評価は、Lorentz 空間の観点から特徴づけられるか？
• RQ3 二重ボホルン＝リーツ作用素の maximal 評価は、古典的ボホルン＝リーツ作用素の平方関数評価とどのように関係するか？
• RQ4 最大二重ボホルン＝リーツ作用素の最適な指数範囲は何か？ また、既存の結果と比較するとどうなるか？
• RQ5 $ r > \frac{d}{2d-1} $ が二重球的 maximal 演算子の有界性に必要かつ十分であるか？

主な発見

• 二重球的 maximal 演算子 $ \mathcal{M} $ は、$ \|\mathcal{M}(f,g)\|_{L^r} \lesssim \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} $ を満たすが、これは $ r > \frac{d}{2d-1} $ かつ $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} $ のときであり、$(p,q,r) = (1,\infty,1)$ および $(\infty,1,1)$ の場合を除く。
• Lorentz 空間における弱型評価が成り立つ：$ \|\mathcal{M}(f,g)\|_{L^{r,u}} \lesssim \|f\|_{L^{p,s}}\|g\|_{L^{q,t}} $ であり、端点の場合の $ u,s,t $ に明示的な条件が課される。
• $ p = r = 1 $ の場合、弱型評価は $ u = t = \infty $、$ s = 1 $ で成り立ち、$ p $ と $ q $ を入れ替えても同様である。
• $ p = 1 $、$ q = \frac{d}{d-1} $ の場合、$ d \geq 3 $ であれば $ u = \infty $、$ s = t = 1 $ で評価が成立する。
• $ 1 < p < \frac{d}{d-1} $、$ r = \frac{d}{2d-1} $ の場合、$ u = \infty $ で評価が成立し、$ \frac{1}{s} + \frac{1}{t} = \frac{2d-1}{d} $、$ s,t > 0 $ を満たす。
• 最大二重ボホルン＝リーツ作用素は、古典的ボホルン＝リーツ作用素の平方関数評価と最大評価を結びつけることで、改善された $L^p \times L^q \to L^r$ 評価を示した。