[論文レビュー] Maximal function characterizations for Hardy spaces associated to nonnegative self-adjoint operators on spaces of homogeneous type

Liang Song, Lixin Yan|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、同型空間上の非負自己共役作用素に関連する最大および原子的ハーディー空間の同値性を、ガウス型熱核評価のもとで、空間変数における核の正則性を仮定せずに確立する。$ 0 < p \leq 1 $、$ q > p $、$ M > \frac{n}{2}(\frac{1}{p} - 1) $ の条件下で、$ H^p_{L,\text{max}}(X) \simeq H^p_{L,\text{at},q,M}(X) $ を示し、Calderón型分解と最大関数の評価を用いる。

ABSTRACT

Let $X$ be a metric measure space with a doubling measure and $L$ be a nonnegative self-adjoint operator acting on $L^2(X)$. Assume that $L$ generates an analytic semigroup $e^{-tL}$ whose kernels $p_t(x,y)$ satisfy Gaussian upper bounds but without any assumptions on the regularity of space variables $x$ and $y$. In this article we continue a study in \cite{SY} to give an atomic decomposition for the Hardy spaces $ H^p_{L,max}(X)$ in terms of the nontangential maximal function associated with the heat semigroup of $L$, and hence we establish characterizations of Hardy spaces associated to an operator $L$, via an atomic decomposition or the nontangential maximal function. We also obtain an equivalence of $ H^p_{L, max}(X)$ in terms of the radial maximal function.

研究の動機と目的

• 同型空間上での非負自己共役作用素に関連する最大関数と原子的ハーディー空間の同値性を確立すること。
• 従来の研究で必要とされていた熱核の空間変数における Hölder 正則性仮定を排除すること。
• ガウス型上界のもとで、$ H^p_L(X) $ の最大関数特徴づけが原子的分解と同値であることを証明すること。
• 径方向最大関数を含めた同値性を拡張し、作用素に基づくハーディー空間の特徴づけを完全化すること。
• ユークリッド空間に限らない、ダブリング測度を備えた同型空間というより広い設定に、既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 最大関数ノルムから直接原子的分解を構成するために、Calderón型分解技術を適応する。
• nontangential 最大関数 $ f^*_L(x) = \sup_{d(x,y)<t} |e^{-t^2L}f(y)| $ を中心的な道具として用い、最大ハーディー空間 $ H^p_{L,\text{max}}(X) $ を定義する。
• 熱核 $ p_t(x,y) \leq \frac{C}{V(x,t)} \exp\left(-\frac{d(x,y)^2}{ct}\right) $ に対するガウス型上界を適用し、作用素ノルムと積分推定を制御する。
• 周波数と時間スケールのdyadic分解を、partition of unity とコンパクト台付きフーリエ変換を持つ関数 $ \Psi $ を用いて行う。
• Fourier変換がコンパクト台を持つ $ \Psi(t\sqrt{L}) $ と $ t^2Le^{-t^2L} $ を含む積分作用素の推定に、Calderón再構成公式と最大関数技術を適用する。
• ダブリング測度構造を活用し、弱型推定とJohn-Nirenberg不等式を用いて、最大関数の $ L^p $ ノルムを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負自己共役作用素に関連するハーディー空間の最大関数特徴づけが、空間変数における熱核の正則性を仮定せずに原子的分解と同値であることを示せるか？
• RQ2 ガウス型熱核評価のもとで、同型空間上における $ H^p_{L,\text{max}}(X) \simeq H^p_{L,\text{at},q,M}(X) $ の同値性は成立するか？
• RQ3 作用素に基づくハーディー空間の設定において、径方向最大関数は非接続最大関数と同値であるか？
• RQ4 Calderón型分解をダブリング測度を備えた同型空間に、核の滑らかさに関する仮定なしに適応可能か？
• RQ5 原子的および最大ハーディー空間が一致するパラメータ $ p, q, M $ の鋭い範囲は何か？

主な発見

• ガウス型上界の仮定のもとで、すべての $ 0 < p \leq 1 $、$ q > p $、整数 $ M > \frac{n}{2}(\frac{1}{p} - 1) $ に対して、最大ハーディー空間 $ H^p_{L,\text{max}}(X) $ と原子的ハーディー空間 $ H^p_{L,\text{at},q,M}(X) $ が同値である。
• 空間変数における熱核の Hölder 継続性を仮定せず、従来の結果を拡張した。
• 径方向最大関数 $ f^*_{L,\text{rad}}(x) = \sup_{t>0} |e^{-t^2L}f(x)| $ は非接続最大関数と同値であり、したがって $ H^p_{L,\text{rad}}(X) \simeq H^p_{L,\text{max}}(X) $ が成り立つ。
• 面積関数特徴づけ $ H^p_{L,S}(X) $ は最大関数および原子的空間と同値であり、完全な特徴づけの鎖が完成する：$ H^p_{L,\text{at},q,M} \simeq H^p_{L,S} \simeq H^p_{L,\text{max}} \simeq H^p_{L,\text{rad}} $。
• 証明は修正された Calderón 再構成公式と、$ \Psi(t\sqrt{L}) $ を含む積分作用素の $ L^p $ 推定に依拠し、時間的および空間的均一な有界性を持つ。
• 同値性の定数は、ダブリング定数およびガウス型パラメータにのみ依存し、核の正則性には依存しない。